2010年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合A={x|x²-1＜0，x∈R}，集合B满足A∩B=A∪B，则C_RB为（ ）
A．（-1，1）
B．（-∞，-1]∪[1，+∞）
C．（1，+∞）
D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

2. 难度：中等

下列说法中，正确的是（ ）
A．命题“若am²＜bm²，则a＜b”的逆命题是真命题
B．命题“∃x∈R，x²-x＞0”的否定是“∀x∈R，x²-x≤0”
C．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题
D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件

3. 难度：中等

在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则λ+μ的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1

4. 难度：中等

已知m、n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β
B．若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线
C．若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β
D．若α⊥β，m∥n，n⊥β，则m∥α

5. 难度：中等

实验测得四组数据为（1.5，2）、（2.5，4）、（3，3.5）、（4，5.5），则y与x之间的回归直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知椭圆+y²=1（a＞1）的两个焦点为F₁、F₂，P为椭圆上一点，且∠F₁PF₂=60°，则|PF₁|•|PF₂|的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．

7. 难度：中等

设两个正态分布N（μ₁，σ₁²）（σ₁＞0）和N（μ₂，σ₂²）（σ₂＞0）曲线如图所示，则有（ ）
A．μ₁＜μ₂，σ₁＞σ₂
B．μ₁＜μ₂，σ₁＜σ₂
C．μ₁＞μ₂，σ₁＞σ₂
D．μ₁＞μ₂，σ₁＜σ₂

8. 难度：中等

若不等式成立，则n的最小值是（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10

9. 难度：中等

已知x∈（0，π]，关于x的方程有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，-4]
B．[-4，+∞）
C．[-4，20]
D．[-4，20）

11. 难度：中等

已知实数a，b满足0＜b＜a＜1，则下列关系式中可能成立的有（ ）
①2^a=3^b；②log₂a=log₃b；③a²=b³．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

12. 难度：中等

若A，B，C是△ABC的三个内角，且A＜B＜C，则下列结论中正确的是（ ）
A．sinA＜sinC
B．cosA＜cosC
C．tgA＜tgC
D．ctgA＜ctgC

二、解答题

13. 难度：中等

如图所示，某几何体的主视图、左视图均是等腰三角形，俯视图是正方形．则该几何体的全面积为    cm²．

14. 难度：中等

某班由8名女生和12名男生组成，现要组织5名学生外出参观，若这5名成员按性别分层抽样产生，则参观团的组成方法共有    种（用数字作答）．

15. 难度：中等

右图是输出某个有限数列各项的程序框图，则该框图所输出的最后一个数据是    ．

16. 难度：中等

已知真命题：若A为⊙O内一定点，B为⊙O上一动点，线段AB的垂直平分线交直线OB于点P，则点P的轨迹是    ．类比此命题，写出另一个真命题：若A为⊙O外一定点，B为⊙O上一动点，线段AB的垂直平分线交直线OB于点P，则点P的轨迹是    ．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2b-c）cosA-acosC=0，
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若，，试判断△ABC的形状，并说明理由．

18. 难度：中等

如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面A₁ABB₁和BCC₁B₁是两个全等的正方形，AC₁⊥平面A₁DB，D为AC的中点．
（1）求证：平面A₁ABB₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）求证：B₁C∥平面A₁DB．

19. 难度：中等

为了让学生更多的了解“数学史”知识，某班级举办一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动．现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表：

（1）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；
（2）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备4道判断题，选手对其依次口答，答对两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对l道，则获得二等奖．某同学进入决赛，每道题答对的概率p的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率值相同．
（i）求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率；
（ii）设该同学决赛中答题个数为X，求X的分布列及X的数学期望．

20. 难度：中等

已知抛物线C：和定点P（1，2），A、B为抛物线C上的两个动点，且直线PA和PB的斜率为非零的互为相反数．
（I）求证：直线AB的斜率是定值；
（II）若抛物线C在A、B两点处的切线相交于点M，求M的轨迹方程；
（III）若A′与A关于y轴成轴对称，求直线A′B与y轴交点P的纵坐标的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数f（x）满足2f（x+2）-f（x）=0，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx+ax，当x∈（-4，-2）时，f（x）的最大值为-4．
（I）求实数a的值；
（II）设b≠0，函数，x∈（1，2）．若对任意的x₁∈（1，2），总存在x₂∈（1，2），使f（x₁）-g（x₂）=0，求实数b的取值范围．

22. 难度：中等

如图所示，已知⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，过点A作⊙O₁的切线交⊙O₂于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O₁、⊙O₂于点D、E，DE与AC相交于点P．
（I）求证：AD∥EC；
（II）若AD是⊙O₂的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．

23. 难度：中等

已知：直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ²cos2θ=1．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）求直线l被曲线C截得的弦长．

24. 难度：中等

已知函数f（x）=log₂（|x-1|+|x-5|-a）．
（1）当a=2时，求函数f（x）的最小值；
（2）当函数f（x）的定义域为R时，求实数a的取值范围．