2010年北京市丰台区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知向量=（1，k），=（2，1），若与的夹角大小为90°，则实数k的值为（ ）
A．-
B．
C．-2
D．2

2. 难度：中等

直线x-y+1=0与圆（x+1）²+y²=1的位置关系是（ ）
A．相切
B．直线过圆心
C．直线不过圆心但与圆相交
D．相离

3. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（-1，1），若取原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则在下列选项中，不是点P极坐标的是（ ）
A．（）
B．（）
C．（）
D．（）

4. 难度：中等

“”是“A=30°”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也必要条件

5. 难度：中等

甲乙两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，s₁，s₂分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ）
A．，s₁＜s₂
B．，s₁＜s₂
C．，s₁=s₂
D．，s₁＞s₂

6. 难度：中等

已知函数f（x）=log₂x，若|f（x）|≥1，则实数x的取值范围是（ ）
A．（-∞，]
B．[2，+∞）
C．（0，]∪[2，+∞）
D．（-∞，]∪[2，+∞）

7. 难度：中等

设f（x）、g（x）是R上的可导函数，f′（x），g′（x）分别为f（x）、g（x）的导函数，且满足f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，则当a＜x＜b时，有（ ）
A．f（x）g（b）＞f（b）g（x）
B．f（x）g（a）＞f（a）g（x）
C．f（x）g（x）＞f（b）g（b）
D．f（x）g（x）＞f（b）g（a）

8. 难度：中等

如图，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，，AB=AC=AA₁=2，点G与E分别为线段A₁B₁和C₁C的中点，点D与F分别为线段AC和AB上的动点．若GD⊥EF，则线段DF长度的最小值是（ ）

A．
B．1
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

执行右图所示的程序框图，输出结果y的值是    ．

10. 难度：中等

如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于D，CD=4，AB=3BC，则AC的长是    ．

11. 难度：中等

椭圆的焦点为F₁，F₂，过F₂垂直于x轴的直线交椭圆于一点P，那么|PF₁|的值是     ．

12. 难度：中等

已知平面区域U={（x，y）|x+y≤6，x≥0，y≥0}，A={（x，y）|x≤4，y≥0，x-2y≥0}，若向区域U内随机投一点P，则点P落入区域A的概率为     ．

13. 难度：中等

如图，在倾斜角15°（∠CAD=15°）的山坡上有一个高度为30米的中国移动信号塔（BC），在A处测得塔顶B的仰角为45°（∠BAD=45°），则塔顶到水平面的距离（BD）约为     米（保留一位小数，如需要，取）

三、选择题

14. 难度：中等

对于各数互不相等的正数数组（i₁，i₂，…，i_n）（n是不小于2的正整数），如果在p＜q时有i_p＞i_q，则称i_p与i_q是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”．例如，数组（2，4，3，1）中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，1”，其“逆序数”等于4．若各数互不相等的正数数组（a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆）的“逆序数”是2，则（a₆，a₅，a₄，a₃，a₂，a₁）的“逆序数”是（ ）
A．34
B．28
C．16
D．13

四、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，）的图象如图所示．
（Ⅰ）求A，w及φ的值；
（Ⅱ）若tana=2，求的值．

16. 难度：中等

在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是C₁D₁，C₁B₁的中点，G为CC₁上任一点，EC与底面ABCD所成角的正切值是4．
（Ⅰ）求证AG⊥EF；
（Ⅱ）确定点G的位置，使AG⊥面CEF，并说明理由；
（Ⅲ）求二面角F-CE-C₁的余弦值．

17. 难度：中等

在某次抽奖活动中，一个口袋里装有5个白球和5个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖．
（Ⅰ）求仅一次摸球中奖的概率；
（Ⅱ）记连续3次摸球中奖的次数为ξ，求ξ的分布列．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=（x²+ax+2）e^x，（x，a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在R上单调，求a的取值范围；
（Ⅱ）当时，求函数f（x）的极小值．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），等差数列{b_n}中b_n＞0（n∈N*），且b₁+b₂+b₃=15，又a₁+b₁、a₂+b₂、a₃+b₃成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

20. 难度：中等

已知抛物线x²=4y的焦点为F，过焦点F且不平行于x轴的动直线l交抛物线于A，B两点，抛物线在A、B两点处的切线交于点M．
（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）设直线MF交该抛物线于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．