2010年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

计算复数的结果为（ ）
A．-i
B．i
C．-1
D．1

2. 难度：中等

设集合A={1，2，4，6}，B={2，3，5}，则韦恩图中阴影部分表示的集合（ ）

A．{2}
B．{3，5}
C．{1，4，6}
D．{3，5，7，8}

3. 难度：中等

一个几何体的三视图如右图所示，则此几何体的表面积是（ ）

A．
B．
C．
D．]

4. 难度：中等

已条变量x，y满足则x+y的最小值是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

5. 难度：中等

按如图所示的程序框图运算，若输入x=6，则输出k的值是（ ）

A．3
B．4
C．5
D．6

6. 难度：中等

某人向一个半径为6的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知圆x²+y²+mx-=0与抛物线y=的准线相切，则m的值等于（ ）
A．±
B．
C．
D．±

8. 难度：中等

已知函数f（t）是奇函数且是R上的增函数，若x，y满足不等式f（x²-2x）≤-f（y²-2y），则x²+y²的最大值是（ ）
A．
B．
C．8
D．12

二、解答题

9. 难度：中等

已知命题p：∀x∈（1，+∞），log₂x＞0，则¬p为    ．

10. 难度：中等

经过点（2，-1），且与直线x+y-5=0垂直的直线方程是    ．

11. 难度：中等

设{a_n}是等比数列，若a₁=1，a₄=8，则q=    ，数列{a_n}的前6项的和S₆=    ．

12. 难度：中等

海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10n mile，∠BAC=60°，∠ABC=75°，则B，C间的距离是    n mile．

13. 难度：中等

向量，满足：||=2，||=1，（+）•=0，则a与b的夹角是    °．

14. 难度：中等

点P是椭圆+=1上一点，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，且△PF₁F₂的内切圆半径为1，当P在第一象限时，P点的纵坐标为    ．

15. 难度：中等

设函数．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．

16. 难度：中等

在一次数学统考后，某班随机抽取10名同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎叶图如下．
（Ⅰ）计算样本的平均成绩及方差；
（Ⅱ）在这10个样本中，现从不低于84分的成绩中随机抽取2个，求93分的成绩被抽中的概率．

17. 难度：中等

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB边中点，且CC₁=2AB．
（Ⅰ）求证：平面C₁CD⊥平面ABC；
（Ⅱ）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅲ）求三棱锥D-CBB₁的体积．

18. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y-1=0平行，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和极值．

19. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P（4，0），M，N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明直线ME与x轴相交于定点．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}，{b_n}，其中，数列{a_n}的前n项和S_n=n²a_n（n≥1），数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1=2b_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在自然数m，使得对于任意n∈N^*，n≥2，有恒成立？若存在，求出m的最小值；
（Ⅲ）若数列{c_n}满足当n是偶数时，求数列{c_n}的前n项和T_n．