2010年广东省各地市高考数学模拟试卷分类汇编02：函数与导数（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f′（x）存在，且导函数f′（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）=（f′（x））′，若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（ ）
A．f（x）=sinx+cos
B．f（x）=lnx-2
C．f（x）=-x³+2x-1
D．f（x）=-xe^-x

2. 难度：中等

方程2^-x+x²=3的实数解的个数为（ ）
A．2
B．3
C．1
D．4

3. 难度：中等

一物体A以速度v=3t²+2（t的单位：s，v的单位：m/s），在一直线上运动，在此直线上在物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方8m处以v=8t（t的单位：s，v的单位：m/s）的速度与A同向运动，设ns后两物体相遇，则n的值为（ ）
A．
B．
C．4
D．5

4. 难度：中等

过曲线（x＞0）上横坐标为1的点的切线方程为（ ）
A．3x+y-1=0
B．3x+y-5=0
C．x-y+1=0
D．x-y-1=0

5. 难度：中等

甲乙两人同时从A地出发往B地，甲在前一半时间以速度v₁行驶，在后一半时间以速度v₂行驶，乙在前一半路程以速度v₁行驶，在后一半路程以速度v₂行驶，（v₁≠v₂）．则下列说法正确的是（ ）
A．甲先到达B地
B．乙先到达B地
C．甲乙同时到达B地
D．无法确定谁先到达B地

6. 难度：中等

若函数f（x）=log_mx的反函数的图象过点（-1，n），则3n+m的最小值是（ ）
A．
B．2
C．
D．

7. 难度：中等

函数（0＜a＜1）的图象的大致形状是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

f（x）=㏑x+2x-5的零点一定位于以下的区间（ ）
A．（1，2）
B．（2，3）
C．（3，4）
D．（4，5）

9. 难度：中等

函数的值域是（ ）
A．（-∞，0）∪（0，+∞）
B．R
C．（1，+∞）
D．（0，1）

10. 难度：中等

10、已知函数是偶函数，f（x）=log_ax对应的图象如图所示，则g（x）=（ ）

A．2^x
B．
C．log₂（-x）
D．-log₂（-x）

11. 难度：中等

如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合（从A到B是逆时针），如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），如图3．图3中直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的象就是n，记作f（m）=n．则下列说法中正确命题的是（ ）

A．
B．f（x）是奇函数
C．f（x）在定义域上单调递增
D．f（x）的图象关于y轴对称

12. 难度：中等

已知函数若f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A．（1，2）
B．（2，3）
C．（2，3]
D．（2，+∞）

13. 难度：中等

定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：（i）1*1=1，（ii）（n+1）*1=n*1+1，则n*1等于（ ）
A．n
B．n+1
C．n-1
D．n²

14. 难度：中等

已知f（x）为定义在（-∞，+∞）上的可导函数，且f（x）＜f′（x）对于x∈R恒成立，则（ ）
A．f（2）＞e²f（0），f（2010）＞e²⁰¹⁰f（0）
B．f（2）＜e²f（0），f（2010）＞e²⁰¹⁰f（0）
C．f（2）＞e²f（0），f（2010）＜e²⁰¹⁰f（0）
D．f（2）＜e²f（0），f（2010）＜e²⁰¹⁰f（0）

15. 难度：中等

曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，所围成的平面区域的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=x+2^x，g（x）=x+lnx，的零点分别为x₁，x₂，x₃，则x₁，x₂，x₃的大小关系是（ ）
A．x₁＜x₂＜x₃
B．x₂＜x₁＜x₃
C．x₁＜x₃＜x₂
D．x₃＜x₂＜x₁

17. 难度：中等

已知函数f（x）的导函数f′（x）=ax²+bx+c的图象如图，则f（x）的图象可能是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、解答题

18. 难度：中等

=    ．

19. 难度：中等

已知f（x）=x²+2x•f′（1），则f′（0）=    ．

20. 难度：中等

已知函数则f（log₂3）=    ．

21. 难度：中等

曲线y=x²与所围成的图形的面积是    ．

22. 难度：中等

已知一系列函数有如下性质：
函数在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数；
函数在上是减函数，在上是增函数；
函数在上是减函数，在上是增函数；…
利用上述所提供的信息解决问题：若函数的值域是[6，+∞），则实数m的值是    ．

23. 难度：中等

已知函数f（x）=若f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为    

24. 难度：中等

已知A、B、C是直线l上的三点，向量满足，则函数y=f（x）的表达式为     ．

25. 难度：中等

设函数，若[x]表示不大于x的最大整数，则函数的值域是    ．

26. 难度：中等

已知函数，则f[f（2010）]=    ．

27. 难度：中等

已知a∈R，函数，g（x）=（lnx-1）e^x+x（其中e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（2）是否存在实数x∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x处的切线与y轴垂直？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

28. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³+ax²+bx+c在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，函数f（x）在R上有三个零点，且1是其中一个零点．
（1）求b的值；
（2）求f（2）的取值范围；
（3）试探究直线y=x-1与函数y=f（x）的图象交点个数的情况，并说明理由．

29. 难度：中等

已知函数．
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；
（2）当a=1时，求f（x）在上的最大值和最小值；
（3）当a=1时，求证：对大于1的任意正整数n，都有．

30. 难度：中等

设函数f（x）=x³+bx²+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）-f'（x）是奇函数．
（Ⅰ）求b，c的值．
（Ⅱ）求g（x）的单调区间与极值．

31. 难度：中等

设函数f（x）=x|x-1|+m，g（x）=lnx．
（1）当m＞1时，求函数y=f（x）在[0，m]上的最大值；
（2）记函数p（x）=f（x）-g（x），若函数p（x）有零点，求m的取值范围．

32. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+mx+n的图象过点（1，3），且f（-1+x）=f（-1-x）对任意实数都成立，函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于原点对称．
（1）求f（x）与g（x）的解析式；
（2）若F（x）=g（x）-λf（x）在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

33. 难度：中等

设函数f（x）=x²+bln（x+1），
（1）若对定义域的任意x，都有f（x）≥f（1）成立，求实数b的值；
（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围．

34. 难度：中等

已知f（x）是二次函数，f′（x）是它的导函数，且对任意的x∈R，f′（x）=f（x+1）+x²恒成立．
（1）求f（x）的解析表达式；
（2）设t＞0，曲线C：y=f（x）在点P（t，f（t））处的切线为l，l与坐标轴围成的三角形面积为S（t）．求S（t）的最小值．

35. 难度：中等

已知函数f（x）=x²ln|x|，
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=kx-1有实数解，求实数k的取值范围．