2010年江苏省南通市如东县掘港高级中学高三自主练习数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知幂函数f（x）=k•x^α的图象过点（，），则k+α=    ．

2. 难度：中等

已知z=4i-zi，i为虚数单位，则复数z=    ．

3. 难度：中等

不等式的解集是    

4. 难度：中等

等比数列a_n共2n+1项，首项a₁=1，所有奇数项的和等于85，所有偶数项的和等于42，则n=    ．

5. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，）的部分图象如图所示，则ω=    ．

6. 难度：中等

在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3，D为斜边AB的中点，则=    ．

7. 难度：中等

函数f（x）=sin²x在（0，π）上的递减区间是     ．

8. 难度：中等

一只蚂蚁在边长分别为的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为     ．

9. 难度：中等

已知x，y满足则函数z=2x+y的最大值是    ．

10. 难度：中等

已知等差数列{a_n}，满足a₂=3，a₅=9，若数列{b_n}满足，则{b_n}的通项公式b_n=   

11. 难度：中等

设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a^x=b^y=2，2a+b=8，则+的最大值为    ．

12. 难度：中等

高三（1）班共有56人，学号依次为1，2，3，┅，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为     ．

13. 难度：中等

已知a＞0，设函数的最大值为M，最小值为N，那么M+N=    ．

14. 难度：中等

下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是    （写出所有符合要求的图形序号）．

15. 难度：中等

已知a＞0，p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，q：实数x满足不等式lg（x-2）＜0的解集为R．
（Ⅰ）若a=1p且q为真命题时，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

16. 难度：中等

已知向量，令f（x）=，
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当时，求函数f（x）的值域．

17. 难度：中等

如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面A₁ABB₁和BCC₁B₁是两个全等的正方形，AC₁⊥平面A₁DB，D为AC的中点．
（1）求证：平面A₁ABB₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）求证：B₁C∥平面A₁DB．

18. 难度：中等

某地区共有100户农民从事蔬菜种植，据调查，每户年均收入为3万元．为了调整产业结构，当地政府决定动员部分种植户从事蔬菜加工．据估计，如果能动员x（x＞0）户农民从事蔬菜加工，那么剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高2x%，从事蔬菜加工的农民每户年均收入为（a＞0）万元．
（1）在动员x户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动员前从事蔬菜种植的年总收入，试求x的取值范围；
（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工农民的年总收入始终不高于从事蔬菜种植农民的年总收入，试求实数a的最大值．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项为和S_n，点在直线上．数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₃=11，前9项和为153．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，数列{c_n}的前n和为T_n，求使不等式对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．
（Ⅲ）设是否存在m∈N^*，使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

设函数f（x）=px--2lnx，且f（e）=pe--2，（其中e=2.1828…是自然对数的底数）．
（1）求p与q的关系；
（2）若f（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；
（3）设，若在[1，e]上存在实数x，使得f（x）＞g（x）成立，求实数p的取值范围．