2010年辽宁省大连市高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x|-3＜x＜1}，N={x|x≤-3}，则M∪N=（ ）
A．∅
B．{x|x≥-3}
C．{x|x≥1}
D．{x|x＜1}

2. 难度：中等

复数z₁=2+i，z₂=1-i，则z₁•z₂在复平面内的对应点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

等差数列{a_n}中，已知a₅=2，则a₄-a₅+a₆=（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

4. 难度：中等

过抛物线y²=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

5. 难度：中等

如图，一个空间几何体的主（正）视图、侧（左）视图都是周长为8、一个内角为60°的菱形及其一条对角线，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为（ ）

A．5π
B．4π
C．3π
D．2π

6. 难度：中等

P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心

7. 难度：中等

函数y=a^x+1-3（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12

8. 难度：中等

函数y=Asin（ωx+φ）（ A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则该函数的表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中，任取2张，这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

函数，当0＜x＜1时，下列式子大小关系正确的是（ ）
A．f²（x）＜f（x²）＜f（x）
B．f（x²）＜f²（x）＜f（x）
C．f（x）＜f（x²）＜f²（x）
D．f（x²）＜f（x）＜f²（x）

11. 难度：中等

数列{a_n}中，a₁=2，且a_n+1=a_n+2ⁿ（n∈N₊），则a₂₀₁₀为（ ）
A．2²⁰¹⁰-1
B．2²⁰¹⁰
C．2²⁰¹⁰+2
D．2²⁰¹¹-2

12. 难度：中等

已知f（x）是R上的偶函数，若f（x）的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，则f（1）+f（3）+…+f（9）的值为（ ）
A．1
B．0
C．-1
D．

二、解答题

13. 难度：中等

曲线y=x³在点（1，1）切线方程为     ．

14. 难度：中等

若双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为3x-2y=0，则a=    ．

15. 难度：中等

已知正四棱锥S-ABCD，底面上的四个顶点A、B、C、D在球心为O的半球底面圆周上，顶点S在半球面上，则半球O的体积和正四棱锥S-ABCD的体积之比为     ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-6x+5，则同时满足f（x）+f（y）≤0和f（x）-f（y）≥0的点（x，y）所在平面区域的面积是     ．

17. 难度：中等

某班50名学生在一模数学考试中，成绩都属于区间[60，110]．将成绩按如下方式分成五组：第一组[60，70）；第二组[70，80）；第三组[80，90）；第四组[90，100）；第五组[100，110]．部分频率分布直方图如图所示，及格（成绩不小于90分）的人数为20．
（1）请补全频率分布直方图；
（2）在成绩属于[60，70）∪[100，110]的学生中任取两人，成绩记为m，n，求|m-n|＞30的概率；

18. 难度：中等

已知向量m=（，），n=（，），记f（x）=m•n；
（1）若f（x）=1，求的值；
（2）若△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函
数f（A）的取值范围．

19. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．
（1）求证：AD⊥PB；
（2）求证：DM∥平面PCB．

20. 难度：中等

已知定点C（-1，0）及椭圆x²+3y²=5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点．
（Ⅰ）若线段AB中点的横坐标是，求直线AB的方程；
（Ⅱ）在x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b．其中a，b∈R．
（1）设两曲线y=f（x）与y=g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同，若a＞0，试建立b关于a的函数关系式；
（2）在（1）的条件下求b的最大值；
（3）若b=0时，函数h（x）=f（x）+g（x）-（2a+6）x在（0，4）上为单调函数，求a的取值范围．

22. 难度：中等

如图，⊙O₁和⊙O₂公切线AD和BC相交于点D，A、B、C为切点，直线DO₁与⊙O₁与E、G两点，直线DO₂交⊙O₂与F、H两点．
（1）求证：△DEF～△DHG；
（2）若⊙O₁和⊙O₂的半径之比为9：16，求的值．

23. 难度：中等

已知圆锥曲线是参数）和定点，F₁、F₂是圆锥曲线的左、右焦点．
（1）求经过点F₂且垂直地于直线AF₁的直线l的参数方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF₂的极坐标方程．

24. 难度：中等

已知函数f（x）=|3x-2|+x
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若g（x）=|x+1|，解不等式f（x）＞g（x）．