2010年四川省内江市、广安市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若（m+i）²为实数，i为虚数单位，则实数m的值为（ ）
A．1
B．0
C．-1
D．±1

2. 难度：中等

设集合A=R，集合B=正实数集，则从集合A到集合B的映射f只可能是（ ）
A．f：x→y=|x|
B．f：x→y=
C．f：x→y=3^-x
D．f：x→y=log₂（1+|x|）

3. 难度：中等

若抛物线y²=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为（ ）
A．-2
B．2
C．-4
D．4

4. 难度：中等

动点P到A（3，0）点的距离与它到B（0，3）点距离之比为1，则P点的轨迹为（ ）
A．直线
B．椭圆
C．圆
D．抛物线

5. 难度：中等

设f（x）=1+x+（1+x）²+…+（1+x）ⁿ（x≠0，n∈N^*）的展开式中x项的系数为T_n，则（ ）
A．
B．
C．
D．1

6. 难度：中等

在△ABC中，已知，则的值为（ ）
A．-2
B．2
C．±4
D．±2

7. 难度：中等

已知双曲线=1，（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F₁，F₂，点P在双曲线的右支上，且|PF₁|=4|PF₂|，则此双曲线的离心率e的最大值为（ ）
A．
B．
C．2
D．

8. 难度：中等

若x，y满足约束条件（ k为常数），则使z=x+3y的最大值为（ ）
A．9
B．
C．-12
D．12

9. 难度：中等

如图，A₁B₁C₁-ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D₁、F₁分别是A₁B₁、A₁C₁的中点，若BC=CA=CC₁，则BD₁与AF₁所成角的余弦值是（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

从集合{-1，-2，-3，-4，0，1，2，3，4，5}中，随机选出5个数组成子集，使得这5个数中的任何两个数之和不等于1，则取出这样的子集的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

如图所示，f_i（x）（i=1，2，3，4）是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的x₁和x₂，任意λ∈[0，1]，f[λx₁+（1-λ）x₂]≤λf（x₁）+（1-λ）f（x₂）恒成立”的只有（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

12. 难度：中等

已知sinθ=，且cosθ-sinθ+1＜0，则sin2θ=    ．

13. 难度：中等

已知集合则M∩P=    ．

14. 难度：中等

函数的最小值是     ．

15. 难度：中等

设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是    （填所有正确条件的代号）
①x为直线，y，z为平面；
②x，y，z为平面；
③x，y为直线，z为平面；
④x，y为平面，z为直线；
⑤x，y，z为直线．

三、选择题

16. 难度：中等

如图，是一个由三根细铁杆PA、PB、PC组成的支架，三根杆的两两夹角都是60°，一个半径为1的球放在支架内，使杆与球相切，则球心到点P的距离是（ ）
A．
B．
C．2
D．

四、解答题

17. 难度：中等

已知函数
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若时，求f（x）的单调递减区间．

18. 难度：中等

某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序加工结果均有A，B两个等级，对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品．

（1）已知甲、乙两种产品第一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等级的概率P_甲，P_乙；
（2）现要求生产甲，乙两种产品各100个和200个，求这批产品中甲，乙分别有多少个一等品；
（3）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（1）的条件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη．

19. 难度：中等

已知，如图：四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，
（1）求证：直线MN⊥直线AB；
（2）若平面PDC与平面ABCD所成的二面角大小为θ，能否确定θ使直线MN是异面直线AB与PC的公垂线，若能确定，求出θ的值，若不能确定，说明理由．

20. 难度：中等

设数列{a_n}前和n为S_n，且（3-m）S_n+2ma_n=m+3（n∈N^*）．其中m为常数，m≠-3，且m≠0．
（1）求证：{a_n}是等比数列；
（2）若数列{a_n}的公比q=f（m）=且数列{b_n}中，，求b_n的表达式．

21. 难度：中等

已知△OFQ的面积为，且．
（1）当时，求向量与的夹角θ的取值范围；
（2）设，若以中心O为坐标原点，焦点F在x非负半轴上的双曲线经过点Q，当取得最小值时，求此双曲线的方程．

22. 难度：中等

已知，其中e是无理数，a∈R．
（1）若a=1时，f（x）的单调区间、极值；
（2）求证：在（1）的条件下，；
（3）是否存在实数a，使f（x）的最小值是-1，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．