2010年江苏省连云港市东海高级中学高考数学考前猜题试卷（2）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

在区间[-5，5]内随机地取出一个数a，则恰好使1是关于x的不等式2x²+ax-a²＜0的一个解的概率大小为    ．

2. 难度：中等

如图，正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A、B、C、D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，若，则球O的表面积为    ．

3. 难度：中等

设函数，若关于x的方程f²（x）-af（x）=0恰有三个不同的实数解，则实数a的取值范围为    ．

4. 难度：中等

函数y=f（x）^g（x）在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得lny=g（x）lnf（x），两边求导数，于是y'=f（x）^g（x）．运用此方法可以探求得知的一个单调增区间为    ．

5. 难度：中等

已知椭圆的上焦点为F，直线x+y+1=0和x+y-1=0与椭圆相交于点A，B，C，D，则AF+BF+CF+DF=    ．

6. 难度：中等

“祝福北京”、“祝福奥运”是每个中国人良好的心愿．亮亮、兵兵和军军三个同学都有一套外形完全相同，背面写着“祝福”、“北京”、“奥运”字样的三张卡片．他们分别从自己的一套卡片中随机抽取一张，抽取得三张卡片中含有“祝福”、“北京”、“奥运”的概率是    ．

7. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x+4），且当x＞2时，f（x）单调递增，若x₁+x₂＜4，（x₁-2）（x₂-2）＜0，则f（x₁）+f（x₂）的值     ．（判断符号）

8. 难度：中等

若函数f（x）=-tx²+2x+1（t＜0，t为常数），对于任意两个不同的x₁，x₂，当x₁，x₂∈[-2，2]时，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|（ k为常数，k∈R）成立，如果满足条件的最小正整数k等于4，则实数t的取值范围是    ．

9. 难度：中等

将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设两条直线l₁：ax+by=2，l₂：x+2y=2平行的概率为p₁，相交的概率为p₂，试问点P（p₁，p₂）与直线l₂：x+2y=2的位置关系是    ．

10. 难度：中等

利用计算机在区间（0，1）上产生两个随机数a和b，则方程有实根的概率为     ．

11. 难度：中等

若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈（-1，1]时f（x）=1-x²，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-5，10]内零点的个数为     ．

12. 难度：中等

某单位用3.2万元购买了一台实验仪器，假设这台仪器从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元，若使用这台仪器的日平均费用最少，则一共使用了    天．

13. 难度：中等

如图，△ABC是正三角形，E、F分别为线段AB、AC上的动点，现将△AEF沿EF折起，使平面AEF⊥平面BCF，设=λ，当AE⊥CF时，λ的值为    ．

14. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为    ．

15. 难度：中等

如图，点B在以PA为直径的圆周上，点C在线段AB上，已，设∠APB=α，∠APC=β，α，β均为锐角．
（1）求β；
（2）求向量的数量积的值．

16. 难度：中等

如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．

17. 难度：中等

2010年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行，对每天在各时间段进入园区和离开园区的人数（以百人为计数单位）作了一个模拟预测．为了方便起见，以10分钟为一个计算单位，上午9点10分作为第一个计数人数的时间，即n=1；9点20分作为第二个计数人数的时间，即n=2；依此类推…，把一天内从上午9点到晚上24点分成了90个计数单位．第n个时刻进入园区的人数f（n）和时间n（n∈N^*）满足以下关系：
，n∈N^*
第n个时刻离开园区的人数g（n）和时间n（n∈N^*）满足以下关系：
，n∈N^*．
（Ⅰ）试计算在当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客多少百人？（提示：，结果仅保留整数）
（Ⅱ）问：当天什么时刻世博园区内游客总人数最多？

18. 难度：中等

设圆C₁：x²+y²-10x-6y+32=0，动圆C₂：x²+y²-2ax-2（8-a）y+4a+12=0，
（Ⅰ）求证：圆C₁、圆C₂相交于两个定点；
（Ⅱ）设点P是椭圆上的点，过点P作圆C₁的一条切线，切点为T₁，过点P作圆C₂的一条切线，切点为T₂，问：是否存在点P，使无穷多个圆C₂，满足PT₁=PT₂？如果存在，求出所有这样的点P；如果不存在，说明理由．

19. 难度：中等

设{a_n}是各项均为正数的无穷项等差数列．（本题中必要时可使用公式：）
（Ⅰ）记S_n=a₁+a₂+…+a_n，T_n=a₁²+a₂²+…+a_n²，已知（n∈N^*），试求此等差数列的首项a₁及公差d；
（Ⅱ）若{a_n}的首项a₁及公差d都是正整数，问在数列{a_n}中是否包含一个非常数列的无穷项等比数列{a′_m}？若存在，请写出{a′_m}的构造过程；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

（1）已知函数，
（Ⅰ）若a＞1，且关于x的方程f（x）=m有两个不同的正数解，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）设函数g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞），g（x）满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a无关．试求a的取值范围．
（2）已知函数f（x）=lnx-mx+m，m∈R．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，任意的0＜a＜b，求证：

21. 难度：中等

若两条曲线的极坐标方程分别为p=l与p=2cos（θ+），它们相交于A，B两点，求线段AB的长．

22. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，点M是棱PC的中点，AM⊥平面PBD．
（1）求PA的长；
（2）求棱PC与平面AMD所成角的正弦值．

23. 难度：中等

用a，b，c，d四个不同字母组成一个含n+1（n∈N⁺）个字母的字符串，要求由a开始，相邻两个字母不同．例如n=1时，排出的字符串是ab，ac，ad；n=2时排出的字符串是aba，abc，abd，aca，acb，acd，ada，adb，adc，…，如图所示．记这含n+1个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是a的字符串的种数为a_n．
（1）试用数学归纳法证明：；
（2）现从a，b，c，d四个字母组成的含n+1（n∈N^*，n≥2）个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串，字符串最后一个的字母恰好是a的概率为P，求证：．