2010年上海市高考数学试卷（文科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

函数f（x）=x³+1的反函数f^-1（x）=    ．

2. 难度：中等

已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是    ．

3. 难度：中等

若行列式中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件是    ．

4. 难度：中等

某算法的程序框如下图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是    ．

5. 难度：中等

如图，若正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长为2，高为4，则异面直线BD₁与AD所成角的大小是    （结果用反三角函数值表示）．

6. 难度：中等

若球O₁、O₂表示面积之比，则它们的半径之比=    ．

7. 难度：中等

已知实数x、y满足则目标函数z=x-2y的最小值是    ．

8. 难度：中等

若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是     ．

9. 难度：中等

过点A（1，0）作倾斜角为的直线，与抛物线y²=2x交于M、N两点，则|MN|=    ．

10. 难度：中等

函数y=2cos²x+sin2x的最小值是    ．

11. 难度：中等

若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名有     种选法．

12. 难度：中等

已知F₁、F₂是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF₁F₂的面积为9，则b=    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=sin x+tan x，项数为27的等差数列{a_n}满足a_n∈（-），且公差d≠0，若f（a₁）+f（a₂）+…f（a₂₇）=0，则当k=    时，f（a_k）=0．

14. 难度：中等

某地街道呈现东-西、南-北向的网格状，相邻街距都为1．两街道相交的点称为格点．若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5），（6，6）为报刊零售点．请确定一个格点（除零售点外）    为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短．

二、选择题

15. 难度：中等

已知直线l₁：（k-3）x+（5-k）y+1=0与l₂：2（k-3）x-2y+3=0垂直，则K的值是（ ）
A．1或3
B．1或5
C．1或4
D．1或2

16. 难度：中等

如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是（ ）

A．
B．
C．
D．

17. 难度：中等

点P（4，-2）与圆x²+y²=4上任一点连线的中点轨迹方程是（ ）
A．（x-2）²+（y+1）²=1
B．（x-2）²+（y+1）²=4
C．（x+4）²+（y-2）²=1
D．（x+2）²+（y-1）²=1

18. 难度：中等

有专业机构认为甲型N₁H₁流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过15人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）
A．甲地：总体均值为6，中位数为8
B．乙地：总体均值为5，总体方差为12
C．丙地：中位数为5，众数为6
D．丁地：总体均值为3，总体方差大于0

三、解答题

19. 难度：中等

已知复数z=a+bi（a、b∈R⁺）（I是虚数单位）是方程x²-4x+5=0的根．复数w=u+3i（u∈R）满足，求u的取值范围．

20. 难度：中等

已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，．
（1）若∥，求证：△ABC为等腰三角形；
（2）若⊥，边长c=2，角C=，求△ABC的面积．

21. 难度：中等

有时可用函数f（x）=，描述学习某学科知识的掌握程度．其中x表示某学科知识的学习次数（x∈N^*），f（x）表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．
（1）证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f（x+1）-f（x）总是下降；
（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121]，（121，127]，（127，133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．

22. 难度：中等

已知双曲线C的中心是原点，右焦点为，一条渐近线m：x+y=0，设过点A（-3，0）的直线l的方向向量e=（1，k），
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过原点的直线a∥l，且a与l的距离为，求k的值；
（3）证明：当k＞时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为．

23. 难度：中等

已知{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q的等比数列
（1）若a_n=3n+1，是否存在m，n∈N^*，有a_m+a_m+1=a_k？请说明理由；
（2）若b_n=aqⁿ（a、q为常数，且aq≠0）对任意m存在k，有b_m•b_m+1=b_k，试求a、q满足的充要条件；
（3）若a_n=2n+1，b_n=3ⁿ试确定所有的p，使数列{b_n}中存在某个连续p项的和式数列中{a_n}的一项，请证明．