2004年北京市春季高考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在函数中，最小正周期为π的函数是（ ）
A．y=sin2
B．y=sin
C．y=cos
D．

2. 难度：中等

当时，复数m（3+i）-（2+i）在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

双曲线的渐近线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°

5. 难度：中等

在极坐标系中，圆心在且过极点的圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知sin（θ+π）＜0，cos（θ-π）＞0，则下列不等关系中必定成立的是（ ）
A．tan＜cot
B．tan＞cot
C．sin＜cos
D．sin＞cos

7. 难度：中等

已知三个不等式：ab＞0，bc-ad＞0，-＞0（其中a、b、c、d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

8. 难度：中等

两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5 cm、4 cm、3 cm，把它们重叠在一起组成一个新的长方体，在这些长方体中，最长对角线的长度是（ ）
A．cm
B．7cm
C．5cm
D．10cm

9. 难度：中等

在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是（ ）
A．C₆¹C₉₄²
B．C₆¹C₉₉²
C．C₁₀₀³-C₉₄³
D．P₁₀₀³-P₉₄³

10. 难度：中等

期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M：N为（ ）
A．
B．1
C．
D．2

二、解答题

11. 难度：中等

若f^-1（x）为函数f（x）=lg（x+1）的反函数，则f^-1（x）的值域为    ．

12. 难度：中等

的值为    ．

13. 难度：中等

据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b，2003年产生的垃圾量为a吨．由此预测，该区下一年的垃圾量为    吨，2008年的垃圾量为    吨．

14. 难度：中等

若直线mx+ny-3=0与圆x²+y²=3没有公共点，则m、n满足的关系式为    ；以（m，n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆+=1的公共点有    个．

15. 难度：中等

当0＜a＜1时，解关于x的不等式．

16. 难度：中等

在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a²-c²=ac-bc，求∠A的大小及的值．

17. 难度：中等

如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=．
（1）求证BC⊥SC；
（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小．

18. 难度：中等

已知点A（2，8），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）在抛物线y²=2px上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）
（I）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
（II）求线段BC中点M的坐标
（III）求BC所在直线的方程．

19. 难度：中等

某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0、02元，但实际出厂单价不能低于51元．
（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；
（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本）

20. 难度：中等

下表给出一个“等差数阵”：

其中每行、每列都是等差数列，a_ij表示位于第i行第j列的数．
（I）写出a₄₅的值；
（II）写出a_ij的计算公式；
（III）证明：正整数N在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．