2005年辽宁省高考数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数z=-1在复平面内，z所对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

极限存在是函数f（x）在点x=x处连续的（ ）
A．充分而不必要的条件
B．必要而不充分的条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要的条件

3. 难度：中等

设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
②若α⊥γ，β⊥α，则α∥β；
③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β；
④若m、n是异面直线，m⊥α，m∥β，n⊥β，n∥α，则α⊥β
其中真命题是（ ）
A．①和②
B．①和③
C．③和④
D．①和④

5. 难度：中等

函数y=ln（x+）的反函数是（ ）
A．y=
B．y=-
C．y=
D．y=-

6. 难度：中等

若，则a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．（1，+∞）

7. 难度：中等

在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1-y）．若不等式（x-a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成立，则（ ）
A．-1＜a＜1
B．0＜a＜2
C．
D．

8. 难度：中等

若钝角△ABC三内角A、B、C的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比为m，则m的取值范围是（ ）
A．（2，+∞）
B．（0，2）
C．[1，2]
D．[2，+∞）

9. 难度：中等

若直线2x-y+c=0按向量=（1，-1）平移后与圆x²+y²=5相切，则c的值为（ ）
A．8或-2
B．6或-4
C．4或-6
D．2或-8

10. 难度：中等

已知双曲线的中心在原点，离心率为．若它的一条准线与抛物线y²=4x的准线重合，则该双曲线与抛物线y²=4x的交点到原点的距离是（ ）
A．2+
B．
C．18+12
D．21

11. 难度：中等

一给定函数y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意a₁∈（0，1），由关系式a_n+1=f（a_n）得到的数列{a_n}满足a_n+1＞a_n（n∈N^*），则该函数的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

12. 难度：中等

的展开式中常数项是    ．

13. 难度：中等

如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是    ．

14. 难度：中等

用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有    个．（用数字作答）

15. 难度：中等

ω是正实数，设S_ω={θ|f（x）=cos[ω（x+θ）]是奇函数}，若对每个实数a，S_ω∩（a，a+1）的元素不超过2个，且有a使S_ω∩（a，a+1）含2个元素，则ω的取值范围是    ．

16. 难度：中等

已知三棱锥P-ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB．
（Ⅰ）证明PC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求二面角P-AB-C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）若点P、A、B、C在一个表面积为12π的球面上，求△ABC的边长．

17. 难度：中等

如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y＞x＞0．
（Ⅰ）将十字形的面积表示为θ的函数；
（Ⅱ）θ为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？

18. 难度：中等

已知函数f（x）=（x≠-1）．设数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n），数列{b_n}满足b_n=|a_n-|，S_n=b₁+b₂+…+b_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）用数学归纳法证明b_n≤；
（Ⅱ）证明S_n＜．

19. 难度：中等

某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级．对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品．
（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P_甲、P_乙；

产品\概率\工序	第一工序	第二工序
甲	0.8	0.85
乙	0.75	0.8

（Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（I）的条件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；

产品\利润\等级	一等	二等
甲	5（万元）	2.5（万元）
乙	2.5（万元）	1.5（万元）

（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示．该工厂有工人40名，可用资金60万元．设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（II）的条件下，x、y为何值时，z=xEξ+yEη最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）

产品\用量\项目	工人（名）	资金（万元）
甲	8	5
乙	2	10

20. 难度：中等

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁（-c，0）、F₂（c，0），Q是椭圆外的动点，满足||=2a．点P是线段F₁Q与该椭圆的交点，点T在线段F₂Q上，并且满足•=0，||≠0．
（Ⅰ）设x为点P的横坐标，证明||=a+x；
（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；
（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F₁MF₂的面积S=b²．若存在，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

函数y=f（x）在区间（0，+∞）内可导，导函数f'（x）是减函数，且f′（x）＞0．设x∈（0，+∞），y=kx+m是曲线y=f（x）在点（x，f（x））得的切线方程，并设函数g（x）=kx+m．
（Ⅰ）用x、f（x）、f′（x）表示m；
（Ⅱ）证明：当x∈（0，+∞）时，g（x）≥f（x）．