2004年湖北省高考数学试卷（文科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

设A、B为两个集合．下列四个命题：
①A⊈B⇔对任意x∈A，有x∉B；
②A⊈B⇔A∩B=∅；
③A⊈B⇔A⊉B；
④A⊈B⇔存在x∈A，使得x∉B．
其中真命题的序号是    ．（把符合要求的命题序号都填上）

2. 难度：中等

已知6sin²α+sinαcosα-2cos²α=0，，求的值．

3. 难度：中等

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC与BD交于点E，CB与CB₁交于点F．
（I）求证：A₁C⊥平BDC₁；
（II）求二面角B-EF-C的大小（结果用反三角函数值表示）．

4. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问的夹角θ取何值时的值最大？并求出这个最大值．

5. 难度：中等

直线l：y=kx+1与双曲线C：2x²-y²=1的右支交于不同的两点A、B．
（I）求实数k的取值范围；
（II）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

6. 难度：中等

为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为P）和所需费用如下表：

预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大．

7. 难度：中等

已知b＞-1，c＞0，函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x²+bx+c的图象相切．
（Ⅰ）求b与c的关系式（用c表示b）；
（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）g（x）在（-∞，+∞）内有极值点，求c的取值范围．

二、选择题

8. 难度：中等

设A=，B={x|x≤6，x∈Q}，则A∩B等于（ ）
A．{1，4}
B．{1，6}
C．{4，6}
D．{1，4，6}

9. 难度：中等

已知点M（6，2）和M₂（1，7）．直线y=mx-7与线段M₁M₂的交点M分有向线段M₁M₂的比为3：2，则m的值为（ ）
A．
B．
C．
D．4

10. 难度：中等

已知函数f（x）在x=1处的导数为3，则f（x）的解析式可能为（ ）
A．（x-1）³+3（x-1）
B．2（x-1）²
C．2（x-1）
D．x-1

11. 难度：中等

两个圆C₁：x²+y²+2x+2y-2=0与C₂：x²+y²-4x-2y+1=0的公切线有且仅有（ ）
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条

12. 难度：中等

若函数y=a^x+b-1（a＞0且a≠1）的图象经过第二、三、四象限，则一定有（ ）
A．0＜a＜1，且b＞0
B．a＞1，且b＞0
C．0＜a＜1，且b＜0
D．a＞1，且b＜0

13. 难度：中等

四面体ABCD四个面的重心分别为E、F、G、H，则四面体EFGH的表面积与四面体ABCD的表面积的比值是（ ）
A．
B．
C．
D．

14. 难度：中等

已知为非零的平面向量．甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

15. 难度：中等

已知有（ ）
A．最大值
B．最小值
C．最大值1
D．最小值1

16. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和，其中a、b是非零常数，则存在数列{x_n}、{y_n}使得（ ）
A．a_n=x_n+y_n，其中{x_n}为等差数列，{y_n}为等比数列
B．a_n=x_n+y_n，其中{x_n}和{y_n}都为等差数列
C．a_n=x_n•y_n，其中{x_n}为等差数列，{y_n}都为等比数列
D．a_n=x_n•y_n，其中{x_n}和{y_n}都为等比数列

17. 难度：中等

若，则下列结论中不正确的是（ ）
A．log_ab＞log_ba
B．|log_ab+log_ba|＞2
C．（log_ba）²＜1
D．|log_ab|+|log_ba|＞|log_ab+log_ba|

18. 难度：中等

将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为（ ）
A．120
B．240
C．360
D．720

19. 难度：中等

设y=f（t）是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中0≤t≤24，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：

t		3	6	9	12	15	18	21	24
y	12	15.1	12.1	9.1	11.9	14.9	11.9	8.9	12.1

经观察，y=f（t）可以近似看成y=K+Asin（ωx+φ）的图象，下面的函数中最能近似地表示表中数据对应关系的函数是（ ）
A．，t∈[0，24]
B．，t∈[0，24]
C．，t∈[0，24]
D．，t∈[0，24]

三、解答题

20. 难度：中等

tan2010°的值为    ．

21. 难度：中等

已知的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x⁵的系数是     ．（以数字作答）

22. 难度：中等

某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人．现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则n=    ．