2009-2010学年东北三校高三第三次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若复数z=（1-i）（-2+ai）为纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．-1
B．2
C．1
D．-2

2. 难度：中等

下列命题中真命题的个数是（ ）
①存在斜四棱柱，其底面为正方形；
②存在棱锥，其所有而均为直角三角形；
③任意的圆锥都存在两条母线互相垂直；
④任意的三棱柱都可以分割为三个体积相同的三棱锥．
A．1
B．2
C．3
D．4

3. 难度：中等

已知（3-x）⁴=a+a₁x+a₂x²+a₄x⁴，则a-a_1⁺a₂-a₃+a₄等于（ ）
A．256
B．120
C．136
D．16

4. 难度：中等

为了调查黑龙江省高三学生数学学习情况，在某次模拟考试中，黑龙江省普通高中有24000名学生参加，市重点高中有12000名学生参加，省重点高中有8000名学生参加，若采用分层抽样取一个容量为220的样本进行调查，则抽取的普通高中学生为（ ）
A．60名
B．120名
C．40名
D．60名

5. 难度：中等

根据程序框图，若输出y的值是4，则输入的实数x的值为（ ）

A．1
B．-2
C．1或2
D．1或-2

6. 难度：中等

在公差不为零的等差数列|a_n|中，2a₃-a₇²+2a₁₁=0，数列|b_n|是等比数列，且b₇=a₇，则log₂（b₆b₈）的值为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16

7. 难度：中等

已知函数的图象如图所示，则f（x）=（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

某教师一天上3个班级的课，每班开1节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有排法有（ ）
A．474种
B．77种
C．462种
D．79种

9. 难度：中等

已知f（x）满足f（x+1）=-f（1-x），且当x＞1时，f（x）=|lg（x-1）|，则f（x）图象为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知点A（1，0），椭圆，过点A作直线交椭圆C于P、Q两点，，则直线PQ的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

如图一圆锥形容器，底面圆的直径等于圆锥母线长，水以每分钟9.3升的速度注入容器内，则注入水的高度在分钟时的瞬时变化率（ ）（注：π≈3.1）
A．27分米/分钟
B．9分米/分钟
C．81分米/分钟
D．分米/分钟

12. 难度：中等

已知tan110°=a，求tan50°时，同学甲利用两角差的正切公式求得：；同学乙利用二倍角公式及诱导公式得；根据上述信息可估算a的范围是（ ）
A．
B．
C．（-3，-2）
D．

二、解答题

13. 难度：中等

如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为375颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为    平方米．

14. 难度：中等

抛物线y²=4x，O为坐标原点，A，B为抛物线上两个动点，且OA⊥OB，当直线AB的倾斜角为45°时，△AOB的面积为    ．

15. 难度：中等

已知数列|a_n|的前n项和为S_n，若，则S₅=    ．

16. 难度：中等

已知随机变量ξ服从正态分布N（3，a²），则P（ ξ＜3）=    ．

17. 难度：中等

已知在东西方向上有M，N两座小山，山头上各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM=100米和BN=200米，在水平面上有一条公路为西偏北30°方向，公路上有一测量车在小山m的正南方向点P处，测得发射塔顶A的仰角30°，汽车沿公路西偏北30°方向行驶了100米后在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA=θ，经测量tanθ=2求两发射塔顶A，B的直线距离．

18. 难度：中等

第11届哈尔滨冰雪大世界以“冰雪建筑华章，欢乐相约世界”为主题，于2009年12月24日正式开园．在建园期间，甲、乙、丙三个工作队负责从冰冻的松花江中采出尺寸相同的冰块．在冰景制作过程中，需要对冰块进行雕刻，有时冰块会碎裂，假设冰块碎裂后整块冰块就不能使用，定义：冰块利用率=，假设甲、乙丙工作队所采冰块分别占采冰总量的25%、35%、40%，各队采出的冰块利用率分别为0.8，0.6，0.75．
（1）在采出的冰块中有放回地抽取三块，其中由甲工作队采出的冰块数记为ξ，求ξ的分布列及其数学期望；
（2）在采出的冰块中任取一块，求它被利用的概率．

19. 难度：中等

已知棱台ABCD-A′B′C′D′及其三视图尺寸如图所示，P、Q分别为B'B，CB的中点．
（1）填写棱台各顶点字母，并证明：PQ∥平面AA′D′D；
（2）求二面角B-DD′-A的正切值．

20. 难度：中等

已知椭圆方程为，右焦点F（1，0），准线上一点，过点F的直线l交椭圆与A、B两点．
（1）若直线l的倾斜角为，A点纵坐标为正数，求S_△CAF；
（2）证明直线AC和直线BC斜率之和为定值，并求此定值．

21. 难度：中等

定义：F（x，y）=xy+lnx，x∈（0，+∞），y∈R，f（x）=（其中a≠0）．
（1）求 f（x） 的单调区间；
（2）若恒成立，试求实数a的取值范围；
（3）记f′（x）为f（x）的导数，当a=1时，对任意的n∈N^*，在区间[1，f′（n）]上总存在k个正数a₁，a₂，a₃，…，a₄，使成立，试求k的最小值．

22. 难度：中等

如图所示，在Rt△ABCD中，∠ACB=90°，点O为三角形外的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与边AB相切，切点为E，圆O与边BC相交于D点，直径EF与边BC交于G点，连接AC．
（1）求证：A、E、G、C四点共圆；
（2）求证：AG∥ED．

23. 难度：中等

已知曲线（θ为参数），曲线（t为参数）．
（1）若α=，求曲线C₂的普通方程，并说明它表示什么曲线；
（2）曲线C₁和曲线C₂的交点记为M，N，求|MN|的最小值．

24. 难度：中等

解不等式：||x+log₃x|＜|x|+|log₃x|．