高考数学一轮复习必备（第97-99课时）：第十三章 导数-导数的应用（2）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-2处取得极值，并且它的图象与直线y=-3x+3在点（ 1，0 ）处相切，求a，b，c的值．

2. 难度：中等

已知f（x）=x³+ax²+bx+c有极大值f（α）和极小值f（β）．
（1）求f（α）+f（β）的值；
（2）设曲线y=f（x）的极值点为A、B，求证：线段AB的中点在y=f（x）上．

3. 难度：中等

设函数f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1的极值点是0和4．
（1）求常数k的值；
（2）确定函数f（x）的单调区间；
（3）求f（x）的极值．

4. 难度：中等

求证：e^x≥x+1．

5. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³-6ax²+b，问是否存在实数a、b使f（x）在[-1，2]上取得最大值3，最小值-29，若存在，求出a、b的值．并指出函数的单调区间．若不存在，请说明理由．

6. 难度：中等

设a＞0，求函数f（x）=-ln（x+a）（x∈（0，+∞））的单调区间．

7. 难度：中等

某花生种植基地原有花生品种每公顷产量为3000千克，出油率为55%．改用新品种之后，每公顷收获的花生可加工得到花生油2025千克．已知新品种花生的公顷产量和出油率都比原有品种有所增加，其中出油率的增长率是公顷产量增长率的一半，求新品种花生每公顷产量的增长率（结果精确到1%）．

8. 难度：中等

从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一个边为x的正方形，再将四边向上折起，做成一个无盖的长方形铁盒，要求长方体的高度与底面边的比值不超过常数t（t＞0）．试问当x取何值时，容量V有最大值．

9. 难度：中等

某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为K（K＞0），贷款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放贷出去．
（1）若存款的利率为x，x∈（0，0.048），试写出存款量g（x）及银行应支付给储户的利息h（x）；
（2）存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？

二、选择题

10. 难度：中等

下列函数中，在x=0处的导数不等于零的是（ ）
A．y=x（1-x）
B．y=x+e^-x
C．y=ln（1-x²）
D．y=x²•e^x

11. 难度：中等

关于函数y=（x²-4）³+1，下列说法正确的是（ ）
A．当x=-2时，y有极大值1
B．当x=0时，y有极小值-63
C．当x=2时，y有极大值1
D．函数的最大值为1

12. 难度：中等

设y=8x²-lnx，则此函数在区间（0，）和（，1）内分别（ ）
A．单调递增，单调递减
B．单调递增，单调递增
C．单调递减，单调递增
D．单调递减，单调递减

13. 难度：中等

求函数f（x）=x³-3x在[-3，3]上的最大值是（ ）
A．2
B．-2
C．-18
D．18

14. 难度：中等

函数在（ ）
A．（-∞，+∞）内是增函数
B．（-∞，+∞）内是减函数
C．（-1，1）内是增函数，在其余区间内是减函数
D．（-1，1）内是减函数，在其余区间内是增函数

15. 难度：中等

已知f（x）=（x+1）ⁿ且f′（x）展成关于x的多项式，其中x²的系数为60，则n=（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4

16. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．-1＜a＜2
B．-3＜a＜6
C．a＜-3或a＞6
D．a＜-1或a＞2

17. 难度：中等

函数f（x）=sin³x+3cosx的值域为（ ）
A．[-4，4]
B．[-3，3]
C．[-4，4）
D．（-3，3）

18. 难度：中等

若函数f（x）=4x³+bx²+ax+5当、x=-1时有极值，则（ ）
A．a=-18，b=-3
B．a=-18，b=3
C．a=18，b=-3
D．a=18，b=3

19. 难度：中等

若不等式3cos³x-2cos2x+1≤k对任何x∈R都成立，则实数k的最小值为（ ）
A．-4
B．
C．2
D．3

20. 难度：中等

已知函数在（-∞，+∞）上是增函数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜-4或m＞-2
B．-4＜m＜-2
C．2＜m＜4
D．m＜2或m＞4

三、解答题

21. 难度：中等

函数y=x+2cosx在区间[0，π]上的最大值为    ．

22. 难度：中等

若函数y=a（x³-x）的减区间为，则a的取值范围为     ．

23. 难度：中等

函数上的最小值是     ．

24. 难度：中等

已知函数f（x）=在R上可导，则a=    ，b=    ．

25. 难度：中等

已知函数f（x）=x²（x-1），若f′（x）=x，求x的值．

26. 难度：中等

已知f（x）是R上的可导函数．
（1）f（-x）在x=a处的导数值与f（x）在x=-a处的导数值有什么关系？
（2）若f（x）为偶函数，f′（x）的奇偶性如何？

27. 难度：中等

设x=-2与x=4是函数f（x）=x³+ax²+bx的两个极值点．
（1）求常数a、b；
（2）判断x=-2，x=4是函数f（x）的极大值点还是极小值点，并说明理由．

28. 难度：中等

准备两张同样大小的正方形纸片．
（1）取准备好的一张正方形纸片，将它的四周各剪去一个同样大小的正方形（如图），再折合成一个无盖的长方体盒子．做成的长方体盒子的底面的边长为6cm，容积为108cm³，那么原正方形纸片的边长为多少？
（2）取准备好的另一张正方形纸片，这张纸片恰好可做成圆柱形食品罐侧面的包装纸（不计接口部分），这个食品罐的体积是多少？（结果保留π）

29. 难度：中等

设函数f（x）=（a∈R），为使f（x）在区间（0，+∞）上为增函数，求a的取值范围．

30. 难度：中等

已知椭圆+=1，（a＞b＞0）的长轴为AB，以AB为底边作椭圆的内接等腰梯形ABCD，求此等腰梯形面积的最大值．

31. 难度：中等

用总长44.8m的钢条制做一个底面是等腰三角形的直三棱柱容器的框架，如果所制做容器的底面的腰长比底边长的一半长1m，那么底面的底边，腰及容器的高为多少时容器的容积最大？（参考数据2.66²=7.0756，3.34²=11.1556）

32. 难度：中等

设函数f（x）在区间（-a，a）（a＞0）内为奇函数且可导，证明：f′（x）是（-a，a）内的偶函数．