2010年湖北省黄冈市名校高考数学模拟试卷04（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知α、β都是第二象限角，且cosα＞cosβ，则（ ）
A．α＜β
B．sinα＞sinβ
C．tanα＞tanβ
D．cotα＜cotβ

2. 难度：中等

定义在R上的奇函数f（x）为减函数，设a+b≤0，给出下列不等式：
①f（a）•f（-a）≤0；
②f（b）•f（-b）≥0；
③f（a）+f（b）≤f（-a）+f（-b）；
④f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．
其中正确的不等式序号是（ ）
A．①②④
B．①④
C．②④
D．①③

3. 难度：中等

已知：M={（x，y）|y≥x²}，N{（x，y）|x²+（y-a）²≤1}，则使M∩N=N成立的充要条件是（ ）
A．a≥
B．
C．a≥1
D．0＜a＜1

4. 难度：中等

若x∈A则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M={-1，0，，，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（ ）
A．15
B．16
C．2⁸
D．2⁵

5. 难度：中等

0＜a＜1，下列不等式一定成立的是（ ）
A．|log_（1+a）（1-a）|+|log_（1-a）（1+a）|＞2；
B．|log_（1+a）（1-a）|＜|log_（1-a）（1+a）|；
C．|log_（1+a）（1-a）+log_（1-a）（1+a）|＜|log_（1+a）（1-a）|+|log_（1-a）（1+a）|；
D．|log_（1+a）（1-a）-log_（1-a）（1+a）|＞|log_（1+a）（1-a）|-|log_（1-a）（1+a）|

6. 难度：中等

若函数f（x）=log_a（x²-ax+3）（a＞0且a≠1），满足对任意的x₁．x₂，当x₁＜x₂≤时，f（x₁）-f（x₂）＞0，则实数a的取值范围为（ ）
A．（0，1）∪（1，3）
B．（1，3）
C．（0.1）∪（1，2）
D．（1，2）

7. 难度：中等

设=（m+1）i-3j，=i+（m-1）j，其中i，j为互相垂直的单位向量，又，则实数m=（ ）
A．3
B．2
C．-3
D．-2

8. 难度：中等

设函数f（x）在x=1处连续，且=2则f（1）等于（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

9. 难度：中等

若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y=2x²+1，值域为{5，19}的“孪生函数”共有（ ）
A．4个
B．6个
C．8个
D．9个

10. 难度：中等

如图，在中△ABC，∠CBA=∠CAB=30°，AC、BC边上的高分别为BD、AE，则以A、B为焦点，且过D、E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（ ）

A．
B．1
C．2
D．2

11. 难度：中等

给出下列命题中
①向量，满足||=||=|-|，则与+的夹角为30°；
②•＞0，是，的夹角为锐角的充要条件；
③将函数y=|x-1|的图象按向量=（-1，0）平移，得到的图象对应的函数表达式为y=|x|；
④若，则△ABC为等腰三角形；
以上命题正确的个数是（ ）
A．4个
B．1个
C．3个
D．2个

12. 难度：中等

如图，在正三棱锥S-ABC中，M、N分别为棱SC、BC的中点，并且AM⊥MN，若侧棱长SA=，则正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为（ ）

A．9π
B．12π
C．16π
D．32π

二、解答题

13. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，其中主视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，则该几何体的体积为    ．

14. 难度：中等

下表给出一个“直角三角形数阵”：满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为a_ij（i≥j，i，j∈N^*）为    ．

15. 难度：中等

如图，E、F分别是正方体的面ADD₁A₁、面BCC₁B₁的中心，则四边形BFD₁E在该正方体的面上的射影可能是    ．（要求：把可能的图的序号都填上）

16. 难度：中等

如图，给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y的值．若要使输入的x的值与输出的y的值相等，则这样的x的值的集合为    ．

17. 难度：中等

已知复数z₁=sin2x+λi，，且z₁=z₂．
（1）若λ=0且0＜x＜π，求x的值；
（2）设λ=f（x），求f（x）的最小正周期和单调减区间．

18. 难度：中等

已知S_n是数列{}的前n项和，
（1）分别计算S₂-S₁，S₄-S₂，S₈-S₄的值；
（2）证明：当n≥1时，≥，并指出等号成立条件；
（3）利用（2）的结论，找出一个适当的T∈N，使得S_T＞2010；
（4）是否存在关于正整数n的函数f（n），使得S₁+S₂+…+S_n-1=f（n）（S_n-1）对于大于1的正整数n都成立？证明你的结论．

19. 难度：中等

在四棱锥P-ABCD中，AD⊥AB，CD∥AB∥MN，PD⊥底面ABCD，，直线PA与底面ABCD成60°角，点M，N分别是PA、PB的中点．
（Ⅰ）求二面角P-MN-D的大小；
（Ⅱ）当的值为多少时，∠CND为直角？

20. 难度：中等

一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p，出现“×”的概率为q，若第k次出现“○”，则记a_k=1；出现“×”，则记a_k=-1，令S_n=a₁+a₂+••+a_n．
（I）当p=q=时，记ξ=|S₃|，求ξ的分布列及数学期望；
（II）当p=，q=时，求S₈=2且S_i≥0（i=1，2，3，4）的概率．

21. 难度：中等

如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为8，cos∠BFA=，求△ACF的面积．

22. 难度：中等

我市今年高三体育考试结束后，从某县3000名参考学生中抽取了100名考生成绩进行统计分析（满分100分，记分均为整数），得到如图所示的频数分布直方图，请你根据图形完成下列问题：
（1）本次抽样的样本容量是．
（2）请补全频数分布直方图．
（3）若80分以上（含80分）为优秀，请你据此估算该县本次考试的优秀人数．

23. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+ln x-1．
（1）求函数f（x）在区间[1，e]（e为自然对数的底）上的最大值和最小值；
（2）求证：在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=x³的图象的下方；
（3）求证：[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）≥2ⁿ-2 （n∈N^*）．