2009年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i是虚数单位，=（ ）
A．-1
B．1
C．-i
D．i

2. 难度：中等

设集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知a=log₂3，b=8^-0.7，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞a＞c
D．c＞b＞a

4. 难度：中等

某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为：不超过50kg按0.53元/kg收费，超过50kg的部分按0.85元/kg收费．相应收费系统的流程图如图所示，则①处应填（ ）

A．y=0.85
B．y=50×0.53+（x-50）×0.85
C．y=0.53
D．y=50×0.53+0.85

5. 难度：中等

已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知点P（x，y）在直线x+2y=3上移动，当2^x+4^y取得最小值时，过点P（x，y）引圆+=的切线，则此切线段的长度为（ ）
A．1
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知定义在R上的奇函数f（x）的图象关于直线x=1对称，f（-1）=1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）的值为（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

8. 难度：中等

如图，三行三列的方阵中有9个数a_ij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

已知a∈[0，]，则当∫^a（cosx-sinx）dx取最大值时，a=    ．

10. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n（20-n），则当a_na_n+1＜0时，n=    ．

11. 难度：中等

为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95）由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75）的人数是    ．

12. 难度：中等

一枚质量均匀的正方体骰子，六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6，抛掷这枚骰子两次．记第一次、第二次朝上的面上的数字分别为p、q，若把p，q分别作为点A的横坐标和纵坐标，则点A（p，q）在函数y=2x的图象上的概率为     ．

13. 难度：中等

若a，b，c∈R⁺，且a+b+c=1，则的最大值是    ．

14. 难度：中等

已知点P是曲线（θ为参数，0≤θ≤π）上一点，O为原点．若直线OP的倾斜角为，则点P的直角坐标为     ．

15. 难度：中等

如图，A，B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC=4，BE=10，且BC=AD，则AB=    ．

16. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且a=4，C=2A，．
（Ⅰ）求sinB；
（Ⅱ）求b的长．

17. 难度：中等

某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为，若中奖，商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2300的台式电脑一台，得到奖券4张．
（Ⅰ）设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列；
（Ⅱ）设该顾客购买台式电脑的实际支出为η（元），用ξ表示η，并求η的数学期望．

18. 难度：中等

如图一，平面四边形ABCD关于直线AC对称，∠A=60°，∠C=90°，CD=2．把△ABD沿BD折起（如图二），使二面角A-BD-C的余弦值等于．对于图二，完成以下各小题：
（Ⅰ）求A，C两点间的距离；
（Ⅱ）证明：AC⊥平面BCD；
（Ⅲ）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．

19. 难度：中等

已知M是以点C为圆心的圆（x+1）²+y²=8上的动点，定点D（1，0）．点P在DM上，点N在CM上，且满足．动点N的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）线段AB是曲线E的长为2的动弦，O为坐标原点，求△AOB面积S的取值范围．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=，且a_n+2=．
（I）求证：数列为等差数列；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）求下表中前n行所有数的和S_n．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-3lnx．求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程 ______．