2008-2009学年广东省惠州市高三第二次调研数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|-2≤x＜3}，B={x|x＜-1或x≥4}，那么集合A∩B等于（ ）
A．{x|-1＜x＜3}
B．{x|x≤-1或x＞3}
C．{x|-2≤x＜-1}
D．{x|-1≤x＜3}

2. 难度：中等

（tanx+cotx）cos²x=（ ）
A．tan
B．sin
C．cos
D．cot

3. 难度：中等

若等差数列{a_n}的前5项和S₅=25，且a₂=3，则a₇=（ ）
A．12
B．13
C．14
D．15

4. 难度：中等

给出下列四个函数：①f（x）=x+1，=2 ②，③f（x）=x²，④f（x）=sinx，其中在（0，+∞）是增函数的有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

5. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件：，则z=x-3y的最小值（ ）
A．-2
B．-4
C．-6
D．-8

6. 难度：中等

如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（ ）
A．32π
B．16π
C．12π
D．8π

7. 难度：中等

若直线=1与图x²+y²=1有公共点，则（ ）
A．a²+b²≤1
B．a²+b²≥1
C．
D．

8. 难度：中等

如图，动点P在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线BD₁上．过点P作垂直于平面BB₁D₁D的直线，与正方体表面相交于M，N．设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

设向量，若向量与向量共线，则λ=    ．

10. 难度：中等

一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工    人．

11. 难度：中等

设曲线y=e^ax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=    ．

12. 难度：中等

执行下边的程序框图，若p=0.8，则输出的n=    ．

13. 难度：中等

已知直线l：x-y+4=0与圆C：，则C上各点到l的距离的最小值为     ．

14. 难度：中等

若不等式|3x-b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围     ．

15. 难度：中等

如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE：AC=3：5，DE=6，则BF=    ．

16. 难度：中等

在△ABC中，，．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）设△ABC的面积，求BC的长．

17. 难度：中等

甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列．

18. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB中点．
（1）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（2）求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值；
（3）求二面角B-AC₁-C的正切值．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x⁴+ax³+2x²+b（x∈R），其中a，b∈R．
（Ⅰ）当时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，1]上恒成立，求b的取值范围．

20. 难度：中等

从椭圆上一点P向x轴引垂线，垂足恰为椭圆的左焦点F₁，A为椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点，且．
（1）求该椭圆的离心率．
（2）若该椭圆的准线方程是，求椭圆方程．

21. 难度：中等

设单调递增函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y有f（xy）=f（x）+f（y），且．
（1）一个各项均为正数的数列{a_n}满足：f（s_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1其中S_n为数列{a_n}的前n项和，求数列{a_n}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，是否存在正数M使下列不等式：2ⁿ•a₁a₂…a_n≥M对一切n∈N^*成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，请说明理由．