2010年四川省成都市石室中学高考数学三模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（ ）
A．
B．
C．-
D．2

2. 难度：中等

若集合，Q={x||x-1|＜2}，则集合P与Q的关系为（ ）
A．P∩Q={-1}
B．P∪Q=R
C．P⊆Q
D．P∩Q=Q

3. 难度：中等

已知函数，则f（x）的图象的一条对称轴的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

平行四边形ABCD中，E为CD中点，线段AE与BD相交于点P，记，，则可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，如果此三棱锥外接球的表面积为9π，那么PA•PB+PA•PC+PB•PC的最大值为（ ）
A．
B．
C．9
D．18

6. 难度：中等

△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“acosA=bcosB”是“△ABC为等腰三角形”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分也非必要条件

7. 难度：中等

已知P为抛物线y²=4x上一个动点，直线l₁：x=-1，l₂：x+y+3=0，则P到直线l₁、l₂的距离之和的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．
D．+1

8. 难度：中等

将一个白色、一个黄色乒乓球随意地装入甲、乙、丙三个口袋中，则甲口袋中恰好装有乒乓球的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

等差数列{a_n}中，a₁=a₃+a₇-2a₄=4，则取整数解时n的个数有（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

10. 难度：中等

已知ab≠0，点M（a，b）是圆x²+y²=r²内一点，直线m是以点M为中点的弦所在的直线，直线l的方程是ax+by=r²，则下列结论正确的是（ ）
A．m∥l，且l与圆相交
B．l⊥m，且l与圆相切
C．m∥l，且l与圆相离
D．l⊥m，且l与圆相离

11. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数a，b∈R满足：，
考察下列结论：①f（0）=f（1）；②数列{a_n}为等比例数列；③数列{b_n}为等差数列．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③
B．①③
C．①②
D．②③

12. 难度：中等

已知函数f（x）=2^x+a•2^-|x|（a∈R）满足．若存在x∈[1，2]使得不等式2^xf（2x）+mf（x）≥0成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．[-5，+∞）
B．[-，+∞）
C．（-∞，-17]
D．（-∞，-15]

二、解答题

13. 难度：中等

的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n的值是    ．

14. 难度：中等

已知圆C：x²+y²-6x-4y+8=0．以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件双曲线的标准方程为    ．

15. 难度：中等

如图，半径为R的半球内有一内接正六棱锥P-ABCDEF，则直线PA与平面BPE所成角正弦值是    ．

16. 难度：中等

有下列命题：
①过双曲线xy=k（k＞0）上任意一点的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为；
②曲线xy=k（k＞0）关于原点对称；
③一系列双曲线，所有这些双曲线的实轴长之和为；
④“xy=k（k＞0）被直线所截得的线段与x²-y²=k（k＞0）被直线所截得的线段相等”是必然事件．其中所有真命题的序号是     ．

17. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）化简函数f（x）的解析式，并求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若方程恒有实数解，求实数t的取值范围．

18. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E为AC的中点．
（I）若，求点A到平面BEC₁的距离；
（Ⅱ）当为何值时，二面角E-BC₁-C的正弦值为？

19. 难度：中等

四个纪念币A、B、C、D，投掷时正面向上的概率如下表所示（0＜a＜1）．

将这四个纪念币同时投掷一次，设ξ表示正面向上的纪念币的个数．
（Ⅰ）求ξ的取值及相应的概率；
（Ⅱ）求在概率p（ξ）中，p（ξ=2）为最大时，实数a的取值范围．

20. 难度：中等

已知椭圆的一条准线为x=-4，且与抛物线y²=8x有相同的焦点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点P是该椭圆的左准线与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆相交于M、N两点，且线段MN的中点恰好落在由该椭圆的两个焦点、两个短轴顶点所围成的四边形区域内（包括边界），求此时直线l斜率的取值范围．

21. 难度：中等

设数列{a_n}、{b_n}满足，且，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）对一切n∈N^*，证明成立；
（Ⅲ）记数列{a_n²}、{b_n}的前n项和分别是A_n、B_n，证明：2B_n-A_n＜4．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（e^x+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数．
（1）求g（x）在x∈[-1，1]上的最大值；
（2）若g（x）≤t²+λt+1对∀x∈[-1，1]及λ∈（-∞，-1]恒成立，求t的取值范围；
（3）讨论关于x的方程的根的个数．