2010年江苏省高考数学优化信息卷 （解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

复数z满足（3-4i）z=5+10i，则z=    ．

2. 难度：中等

已知集合M={-1，1}，，则M∩N=    ．

3. 难度：中等

若k∈R，则k＞3是方程-=1表示双曲线的    条件．

4. 难度：中等

已知α∈（0，），β∈（0，），sinα=，cos（α+β）=-，则sinβ的值为    ．

5. 难度：中等

先后拋掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6），骰子朝上的面的点数分别为x、y，则log_2xy=1的概率为    ．

6. 难度：中等

如图所示的流程图最后输出的n的值是    ．

7. 难度：中等

设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，S₆=36，S_n=324，S_n-6=144（n＞6），则n等于    ．

8. 难度：中等

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R有f（x）=f（2-x）成立，则f（2010）的值为    ．

9. 难度：中等

随机抽查某中学高三年级100名学生的视力情况，得其频率分布直方图如图所示．已知前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，则视力在4.6到5.0之间的学生人数为    人．

10. 难度：中等

已知A在不等式组所表示的平面区域上，点N在曲线x²+y²+4x+3=0上，那么|AN|的最小值是    ．

11. 难度：中等

设α，β为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题：
①若m∥n，n⊂α，则m∥α
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
③若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
④若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；
其中正确命题的序号为    ．

12. 难度：中等

有一广告气球，直径为6 m，如图所示，放在公司大楼的上空，当行人仰望气球的中心的仰角∠BAC=30°时，测得气球的视角θ=2°，若θ的弧度数很小时，可取sinθ=θ，由此可估计该气球的高BC约为    ．

13. 难度：中等

已知椭圆的左焦点为F，左准线为l，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若，则=    ．

14. 难度：中等

奇函数y=f（x）的定义域为R，当x≥0时，f（x）=2x-x²，设函数y=f（x），x∈[a，b]的值域为，则b的最小值为    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知向量=（a+c，b-a），=（a-c，b），且．
（1）求角C的大小；
（2）若，求角A的值．

16. 难度：中等

已知矩形ABCD中，AB=2AD=4，E为CD的中点，沿AE将△AED折起，使DB=2，O、H分别为AE、AB的中点．
（1）求证：直线OH∥面BDE；
（2）求证：面ADE⊥面ABCE．

17. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=t，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*）．
（1）当t为何值时，数列{a_n}为等比数列？
（2）在（1）的条件下，若等差数列{b_n}的前n项和T_n有最大值，且T₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求T_n．

18. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，，以A为圆心1为半径的圆与AB交于E（圆弧DE为圆在矩形内的部分）
（1）在圆弧DE上确定P点的位置，使过P的切线l平分矩形ABCD的面积；
（2）若动圆M与满足题（1）的切线l及边DC都相切，试确定M的位置，使圆M为矩形内部面积最大的圆．

19. 难度：中等

已知y=f（x）=xlnx．
（1）求函数y=f（x）的图象在x=e处的切线方程；
（2）设实数a＞0，求函数在[a，2a]上的最大值．
（3）证明对一切x∈（0，+∞），都有成立．

20. 难度：中等

已知集合A={x|x²+a≤（a+1）x，a∈R}．
（1）是否存在实数a，使得集合A中所有整数的元素和为28？若存在，求出符合条件的a，若不存在，请说明理由．
（2）若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为S_n，对于任意的n∈N₊，均有S_n∈A，求a的取值范围．