2008年全国统一高考数学试卷Ⅱ（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合M={m∈z|-3＜m＜2}，N={n∈z|-1≤n≤3}，则M∩N=（ ）
A．{0，1}
B．{-1，0，1}
C．{0，1，2}
D．{-1，0，1，2}

2. 难度：中等

设a，b∈R且b≠0，若复数（a+bi）³是实数，则（ ）
A．b²=3a²
B．a²=3b²
C．b²=9a²
D．a²=9b²

3. 难度：中等

函数的图象关于（ ）
A．y轴对称
B．直线y=-x对称
C．坐标原点对称
D．直线y=x对称

4. 难度：中等

若x∈（e^-1，1），a=lnx，b=2lnx，c=ln³x，则（ ）
A．a＜b＜c
B．c＜a＜b
C．b＜a＜c
D．b＜c＜a

5. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件：，则z=x-3y的最小值（ ）
A．-2
B．-4
C．-6
D．-8

6. 难度：中等

从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

的展开式中x的系数是（ ）
A．-4
B．-3
C．3
D．4

8. 难度：中等

若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2

9. 难度：中等

设a＞1，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A．
B．
C．（2，5）
D．

10. 难度：中等

已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y-2=0与x-7y-4=0，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ）
A．3
B．2
C．
D．

12. 难度：中等

已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）
A．1
B．
C．
D．2

二、解答题

13. 难度：中等

设向量，若向量与向量共线，则λ=    ．

14. 难度：中等

设曲线y=e^ax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=    ．

15. 难度：中等

已知F是抛物线C：y²=4x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A，B两点．设|FA|＞|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于    ．

16. 难度：中等

平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件①    ；
充要条件②    ．
（写出你认为正确的两个充要条件）

17. 难度：中等

在△ABC中，，．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）设△ABC的面积，求BC的长．

18. 难度：中等

购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1-0.999¹⁰⁴．
（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p；
（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．

19. 难度：中等

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，点E在CC₁上且C₁E=3EC．
（Ⅰ）证明：A₁C⊥平面BED；
（Ⅱ）求二面角A₁-DE-B的大小．

20. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₁=a，a_n+1=S_n+3ⁿ，n∈N^*．由
（Ⅰ）设b_n=S_n-3ⁿ，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a_n+1≥a_n，n∈N^*，求a的取值范围．

21. 难度：中等

设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
（Ⅰ）若，求k的值；
（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．

22. 难度：中等

设函数．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范围．