2010年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数等于（ ）
A．-1+i
B．-1-i
C．1+i
D．1-i

2. 难度：中等

已知全集U={x∈Z|1≤x≤9}，A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则右图中阴影部分所表示的集合为（ ）

A．{1}
B．{1，3}
C．{1，9}
D．{1，3，5，7，9}

3. 难度：中等

若平面四边形ABCD满足，则该四边形一定是（ ）
A．直角梯形
B．矩形
C．菱形
D．正方形

4. 难度：中等

顶点为直角坐标原点，始边在x轴正半轴上的角α的终边经过点P（1，-2），则tan2α=（ ）
A．-2
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知f（x）=ln（），则下列正确的是（ ）
A．非奇非偶函数，在（0，+∞）上为增函数
B．奇函数，在R上为增函数
C．非奇非偶函数，在（0，+∞）上为减函数
D．偶函数，在R上为减函数

6. 难度：中等

已知两个不同平面α，β和两条不同直线m，n，则使α∥β成立的一个充分条件是（ ）
A．m∥α，n∥β，m∥n
B．m∥α，m∥β
C．n⊥α，n⊥β
D．m⊥α，n⊥β

7. 难度：中等

某学校体育组计划开设足球、篮球、排球等10门课程供学生课外活动选修，学校规定每位同学选修三门，其中足球、篮球、排球三门课程由于上课时间相同，至多可以选一门，则每位同学不同的选修方案种数是（ ）
A．120
B．98
C．3
D．56

8. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，S_n为前n项和，且a₁＜0，3a₂=5a₄，则S_n中最小的是（ ）
A．S₆
B．S₁₀
C．S₆或S₇
D．S₁₂

9. 难度：中等

函数y=f（x），当x＜0时，f（x）=-2x-1；当x≥0时，f（x）=sinπx，则函数y=f（x）图象与函数g（x）=log₄（x+2）图象交点的个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

10. 难度：中等

已知关于x的三次函数在区间（1，2）上只有极大值，则b-a的取值范围是（ ）
A．（-1，+∞）
B．（-2，+∞）
C．（-3，+∞）
D．（-4，+∞）

11. 难度：中等

如图，给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值构成的集合为（ ）

A．{0，1}
B．{-1，1}
C．{0，1，3}
D．{-1，0，1，3}

12. 难度：中等

定义在R上的函数f（x），当0≤x₁＜x₂≤1时，f（x₁）≤f（x₂），且满足下列条件：①f（1）=1，②，③2f（x）=f（5x）、则等于（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

已知圆M：（x-a）²+（y-2）²=4以及直线l：x-y+3=0，当直线l被圆M截得的弦长为4时，a的值等于    ．

14. 难度：中等

一只蚂蚁在三边边长分别为3，4，5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为    ．

15. 难度：中等

已知f（x）=∫^x（2t-4）dt，则当x∈[-1，3]时，f（x）的最小值为    ．

16. 难度：中等

若f（n）表示n²-2n+2（n∈N₊）的各位上的数字之和，例如14²-2×14+2=170，1+7+0=8，所以f（14）=8．设f₁（n）=f（n），f₂（n）=f[（f₁（n）]，…，f_k+1（n）=f[（f_k（n）]（k∈N₊），则f₂₀₁₀（17）=    ．

17. 难度：中等

在△ABC中，A、B、C为三角形的三个内角，且满足条件sin（C-A）=1，．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）若，求△ABC的面积．

18. 难度：中等

如图所示，已知多面体PABCD的直观图（图1）和它的三视图（图2），
（I）在棱PA上是否存在点E，使得PC∥平面EBD？若存在，求PE：PA的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由；
（II）求二面角B-PC-D的大小．（若不是特殊角请用反三角函数表示）

19. 难度：中等

某超市为促销商品，特举办“购物有奖100%中奖”活动．凡消费者在该超市购物满10元，享受一次摇奖机会，购物满20元，享受两次摇奖机会，以此类推．摇奖机的结构如图所示，将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落、小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，落入A袋为一等奖，奖金为2元，落入B袋为二等奖，奖金为1元、已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是．
（Ⅰ）求摇奖两次，均获得一等奖的概率；
（Ⅱ）某消费者购物满20元，摇奖后所得奖金为X元，试求X的分布列与期望；
（Ⅲ）若超市同时举行购物八八折让利于消费者活动（打折后不再享受摇奖），某消费者刚好消费20元，请问他是选择摇奖还是选择打折比较划算．

20. 难度：中等

已知圆C₁的方程为（x-4）²+（y-1）²=，椭圆C₂的方程为，其离心率为，如果C₁与C₂相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C₁的直径．
（Ⅰ）求直线AB的方程和椭圆C₂的方程；
（Ⅱ）如果椭圆C₂的左右焦点分别是F₁、F₂，椭圆上是否存在点P，使得，如果存在，请求点P的坐标，如果不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

设函数f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N₊）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设函数在（0，1]上是增函数，且对于（0，1]内的任意实数x₁，x₂当k为偶数时，恒有f（x₁）≥g（x₂）成立，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）当k是偶数时，函数，求证：[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ（n∈N₊）．

22. 难度：中等

已知：在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，连接DO并延长交AC的延长线于点E，⊙O的切线DF交AC于F点．
（Ⅰ）试证明：AF=CF；
（Ⅱ）若ED=4，，求CE的长．

23. 难度：中等

已知：方程，
（Ⅰ）当t=0时，θ为参数，此时方程表示曲线C₁，请把C₁的参数方程化为普通方程；
（Ⅱ）当时，t为参数，此时方程表示曲线C₂，请把C₂的参数方程化为普通方程．

24. 难度：中等

已知函数f（x）=|x-4|+|x+5|．
（Ⅰ）试求使等式f（x）=|2x+1|成立的x的取值范围；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．