2011年高三数学单元检测：圆锥曲线（1）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

抛物线C：x²=2py（p＞0）上一点P（m，4）到其焦点的距离为5．
（I）求p与m的值；
（II）若直线l：y=kx-1与抛物线C相交于A、B两点，l₁、l₂分别是该抛物线在A、B两点处的切线，M、N分别是l₁、l₂与该抛物线的准线交点，求证：．

2. 难度：中等

已知抛物线x²=6y的焦点为F，椭圆C：的离心率为，P是它们的一个交点，且|PF|=2．
（I）求椭圆C的方程；
（II）若直线y=kx+m（k≠0，m＞0）与椭圆C交于两点A、B，点D满足=0，直线FD的斜率为k₁，试证明．

3. 难度：中等

如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为A（0，），且离心率等于，过点M（0，2）的直线l与椭圆相交于P，Q不同两点，点N在线段PQ上．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设，试求λ的取值范围．

4. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知向量，（m∈R），且满足，动点M（x，y）的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程，并说明该方程所表示的轨迹的形状；
（Ⅱ）若已知圆O：x²+y²=1，当m=1时，过点M作圆O的切线，切点为A、B，求向量的最大值和最小值．

5. 难度：中等

已知圆C₁的方程为（x-4）²+（y-1）²=，椭圆C₂的方程为，其离心率为，如果C₁与C₂相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C₁的直径．
（Ⅰ）求直线AB的方程和椭圆C₂的方程；
（Ⅱ）如果椭圆C₂的左右焦点分别是F₁、F₂，椭圆上是否存在点P，使得，如果存在，请求点P的坐标，如果不存在，请说明理由．

6. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，右焦点F也是抛物线y²=4x的焦点．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线l与C相交于A、B两点．
①若，求直线l的方程；
②若动点P满足，问动点P的轨迹能否与椭圆C存在公共点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

7. 难度：中等

设椭圆的焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），右准线l交x轴于点A，且．
（Ⅰ）试求椭圆的方程；
（Ⅱ）过F₁、F₂分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点（如图所示），试求四边形DMEN面积的最大值．

8. 难度：中等

已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率e=，左、右焦点分别为F₁、F₂，点，点F₂在线段PF₁的中垂线上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F₂M与F₂N的倾斜角分别为α，β，且α+β=π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．

9. 难度：中等

已知椭圆的离心率，点F为椭圆的右焦点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，点M为椭圆的上顶点，且满足．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l，当直线l交椭圆于P、Q两点时，使点F恰为△PQM的垂心．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

10. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且短轴长为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）若与两坐标轴都不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，且，，求直线l的方程．

11. 难度：中等

设F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点．
（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的作标；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为作标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

12. 难度：中等

已知点F（0，1），直线l：y=-1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）已知圆M过定点D（0，2），圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设|DA|=l₁，|DB|=l₂，求的最大值．

13. 难度：中等

如图，设抛物线C₁：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F₁，焦点为F₂；以F₁，F₂为焦点，离心率e=的椭圆C₂与抛物线C₁在x轴上方的交点为P，延长PF₂交抛物线于点Q，M是抛物线C₁上一动点，且M在P与Q之间运动．
（1）当m=1时，求椭圆C₂的方程；
（2）当△PF₁F₂的边长恰好是三个连续的自然数时，求△MPQ面积的最大值．

14. 难度：中等

设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离，O为坐标原点．
（I）求椭圆C的方程；
（II）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．

15. 难度：中等

已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）动直线交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T．若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

16. 难度：中等

设四点A、B、C、D均在双曲线x²-y²=1的右支上．
（1）若=（实数λ≠0），证明：（O是坐标原点）；
（2）若|AB|=2，P是线段AB的中点，过点P分别作该双曲线的两条渐近线的垂线，垂足为M、N，求四边形OMPN的面积的最大值．