2010年高考数学最后一讲（2）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），c=（1，7sinα），且0＜β＜α＜．若a•b=，a∥c．
（1）求tanβ的值；
（2）求cos（2α-β）的值．

2. 难度：中等

已知函数f（x）=sin²ωx+cosωxcos（-ωx）（ω＞0），且函数y=f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距为．
（1）求f（）的值．
（2）若函数 f（kx+）（k＞0）在区间[-，]上单调递增，求k的取值范围．

3. 难度：中等

如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC．
（1）求三棱锥D-ABC的表面积；
（2）求证AC⊥平面DEF；
（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由．

4. 难度：中等

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都是2，D、E分别为CC₁、A₁B₁的中点．
（1）求证C₁E∥平面A₁BD；
（2）求证AB₁⊥平面A₁BD；
（3）求三棱锥A₁-C₁DE的体积．

5. 难度：中等

已知双曲线左右两焦点为F₁，F₂，P是右支上一点，PF₂⊥F₁F₂，OH⊥PF₁于H，．
（1）当时，求双曲线的渐近线方程；
（2）求双曲线的离心率e的取值范围；
（3）当e取最大值时，过F₁，F₂，P的圆的截y轴的线段长为8，求该圆的方程．

6. 难度：中等

如图，已知椭圆C：的长轴AB长为4，离心率，O为坐标原点，过B的直线l与x轴垂直．P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=PQ，连接AQ延长交直线l于点M，N为MB的中点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）证明Q点在以AB为直径的圆O上；
（3）试判断直线QN与圆O的位置关系．

7. 难度：中等

建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长（梯形的上底线段BC与两腰长的和）要最小．
（1）求外周长的最小值，此时防洪堤高h为多少米？
（2）如防洪堤的高限制在的范围内，外周长最小为多少米？

8. 难度：中等

某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．
（I）估计这次测试数学成绩的平均分；
（II）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

9. 难度：中等

已知函数f（x）=，a∈R
（I）求f（x）的极值；
（II）若lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；
（III）已知x₁＞0，x₂＞0，且x₁+x₂＜e，求证：x₁+x₂＞x₁x₂．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=ax+lnx，x∈（1，e），且f（x）有极值．
（1）求实数a的取值范围；
（2）求函数f（x）的值域；
（3）函数g（x）=x³-x-2，证明：∀x₁∈（1，e），∃x∈（1，e），使得g（x）=f（x₁）成立．

11. 难度：中等

设f（x）=x³，等差数列{a_n}中a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，记S_n=，令b_n=a_nS_n，数列的前n项和为T_n．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式和S_n；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．

12. 难度：中等

已知a₁=b₁=1，a_n+1=b_n+n，b_n+1=a_n+（-1）ⁿ，n∈N^*．
（1）求a₃，a₅的值；
（2）求通项公式a_n；
（3）求证：