2009年重庆市高考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

直线y=x+1与圆x²+y²=1的位置关系为（ ）
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心
D．相离

2. 难度：中等

已知复数z的实部为-1，虚部为2，则=（ ）
A．2-i
B．2+i
C．-2-i
D．-2+i

3. 难度：中等

（x+2）⁶的展开式中x³的系数是（ ）
A．20
B．40
C．80
D．160

4. 难度：中等

已知，则向量与向量的夹角是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

不等式|x+3|-|x-1|≤a²-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．（-∞，-1]∪[4，+∞）
B．（-∞，-2]∪[5，+∞）
C．[1，2]
D．（-∞，1]∪[2，+∞）

6. 难度：中等

锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

设△ABC的三个内角A，B，C，向量，，若=1+cos（A+B），则C=（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知，其中a，b∈R，则a-b的值为（ ）
A．-6
B．-2
C．2
D．6

9. 难度：中等

三个互不重合的平面把空间分成六个部份时，它们的交线有 （ ）条．
A．1
B．2
C．3
D．1或2

10. 难度：中等

已知三角函数f（x）=sin2x-cos2x，其中x为任意的实数．求此函数的周期为（ ）
A．2π
B．π
C．4π
D．-π

二、解答题

11. 难度：中等

若A={x∈R||x|＜3}，B={x∈R|2^x＞1}，则A∩B=    ．

12. 难度：中等

若是奇函数，则a=    ．

13. 难度：中等

将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有     种（用数字作答）．

14. 难度：中等

设a₁=2，，b_n=，n∈N⁺，则数列{b_n}的通项公式b_n=    ．

15. 难度：中等

已知双曲线的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），若双曲线上存在一点P使，则该双曲线的离心率的取值范围是．   

16. 难度：中等

设函数．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）若y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时y=g（x）的最大值．

17. 难度：中等

某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：
（1）两种大树各成活1株的概率；
（2）成活的株数ξ的分布列与期望．

18. 难度：中等

设函数f（x）=ax²+bx+k（k＞0）在x=0处取得极值，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线x+2y+1=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若函数，讨论g（x）的单调性．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥S-ABCD中，AD∥BC且AD⊥CD；平面CSD⊥平面ABCD，CS⊥DS，CS=2AD=2；E为BS的中点，，
求：（Ⅰ）点A到平面BCS的距离；
（Ⅱ）二面角E-CD-A的大小．

20. 难度：中等

已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，M是椭圆上的动点
（Ⅰ）若C，D的坐标分别是，求|MC|•|MD|的最大值；
（Ⅱ）如题（20）图，点A的坐标为（1，0），B是圆x²+y²=1上的点，N是点M在x轴上的射影，点Q满足条件：，、求线段QB的中点P的轨迹方程．

21. 难度：中等

设m个不全相等的正数a₁，a₂，…，a_m（m≥7）依次围成一个圆圈，
（Ⅰ）若m=2009，且a₁，a₂，…，a₁₀₀₅是公差为d的等差数列，而a₁，a₂₀₀₉，a₂₀₀₈，…，a₁₀₀₆是公比为q=d的等比数列；数列a₁，a₂，…，a_m的前n项和S_n（n≤m）满足：S₃=15，S₂₀₀₉=S₂₀₀₇+12a₁，求通项a_n（n≤m）；
（Ⅱ）若每个数a_n（n≤m）是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：a₁+…+a₆+a₇²+…+a_m²＞ma₁a₂a_m．