2008-2009学年广东省广州市越秀区高三摸底数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合A={x|x²-x＜0}，B={x|0＜x＜3}，则A∩B等于（ ）
A．{x|0＜x＜1}
B．{x|0＜x＜3}
C．{x|1＜x＜3}
D．∅

2. 难度：中等

y=（sinx-cosx）²-1是（ ）
A．最小正周期为2π的偶像函数
B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为π的奇函数

3. 难度：中等

若复数（a²-3a+2）+（a-1）i是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．1
B．2
C．1或2
D．-1

4. 难度：中等

在边长为1的等边△ABC中，设=（ ）
A．
B．0
C．
D．3

5. 难度：中等

P是双曲线的右支上一点，F₁，F₂分别为双曲线的左、右焦点，焦距为2c，则△PF₁F₂的内切圆的圆心横坐标为（ ）
A．-a
B．a
C．-c
D．c

6. 难度：中等

设P为曲线C：y=x²+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（ ）
A．
B．[-1，0]
C．[0，1]
D．

7. 难度：中等

已知Ω={（x，y）|3x+y≤4，x≥0，y≥0}，A={（x，y）|x≤y}，若向区域Ω内随机投入一点P，则点P落入区域A的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

函数f（x）的图象是如图所示的折线段OAB，点A坐标为（1，2），点B坐标为（3，0）．定义函数g（x）=f（x）•（x-1）．则函数g（x）最大值为（ ）

A．0
B．2
C．1
D．4

二、解答题

9. 难度：中等

一个球的内接长方体的长、宽、高分别为1、2、3，则这个球的表面积是     ．

10. 难度：中等

3名医生和6名护士被分配到三所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有    种．

11. 难度：中等

若（1+x）⁶（1-ax）²的展开式中的x³项的系数为20，则非零实数a=    ．

12. 难度：中等

按如图所示的程序框图运算．
（1）若输入x=8，则输出k=    ；
（2）若输出k=2，则输入x的取值范围是     ．

13. 难度：中等

在极坐标系中，过圆ρ=6cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为     ．

14. 难度：中等

函数y=|x-1|+|x-3|的最小值是    ．

15. 难度：中等

如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=6，AE=，求BD和BC的长．

16. 难度：中等

已知，设．
（1）求函数f（x）的最小正周期，并写出f（x）的减区间；
（2）当时，求函数f（x）的最大值及最小值．

17. 难度：中等

甲、乙两人同时参加奥运志愿者选拔赛的考试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才能入选．
（I）求甲答对试题数ξ的分布列及数学期望；
（II）求甲、乙两人至少有一人入选的概率．

18. 难度：中等

如图（1），在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E、F、G分别是线段PC、PD、BC的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD，如图（2）所示．在图（2）中，
（1）求证：AP∥平面EFG；
（2）求二面角G-EF-D的大小．

19. 难度：中等

已知点（x，y）在曲线C上，将此点的纵坐标变为原来的2倍，对应的横坐标不变，得到的点满足方程x²+y²=8；定点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），直线l与曲线C交于A、B两个不同点．
（1）求曲线C的方程；
（2）求m的取值范围．

20. 难度：中等

已知函数在x=1处取得极值2．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）当m满足什么条件时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增？
（3）若P（x，y）为图象上任意一点，直线l与的图象切于点P，求直线l的斜率k的取值范围．

21. 难度：中等

已知f（x）=log_mx（m为常数，m＞0且m≠1），设f（a₁），f（a₂），…，f（a_n）（n∈N₊）是首项为4，公差为2的等差数列．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）若b_n=a_nf（a_n），记数列{b_n}的前n项和为S_n，当时，求S_n；
（3）若c_n=a_nlga_n，问是否存在实数m，使得{c_n}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出实数m的取值范围．