2010年江苏省盐城市高考数学一模试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

设集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，则A∩B=    ．

2. 难度：中等

若复数（a-i）（1+i）（i是虚数单位，a∈R）是纯虚数，则a=    ．

3. 难度：中等

直线l经过点（-2，1），且与直线2x-3y+5=0垂直，则l的方程是    ．

4. 难度：中等

命题“∀x∈R，cosx≤1”的否定是    ．

5. 难度：中等

函数y=x+2cosx在（0，π）上的单调递减区间为     ．

6. 难度：中等

已知平面向量，，与夹角的余弦值为     ．

7. 难度：中等

把分别写有“灰”、“太”、“狼”的三张卡片随意排成一排，则能使卡片排成的顺序从左向右或从右向左都可以念为“灰太狼”的概率是     ．（用分数表示）

8. 难度：中等

已知某算法的流程图如图所示，若将输出的数组（x，y）依次记为（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n），…，则程序运行结束时输出的最后一个数组为    ．

9. 难度：中等

现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为．类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为    ．

10. 难度：中等

已知m，n是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题：
①①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m⊥α，n⊥α，则m∥n；
③若m∥α，n⊥α，则m⊥n；④若m⊥α，m⊥n，则n∥α．
其中真命题的序号有    ． （请将真命题的序号都填上）

11. 难度：中等

若函数在（a，b+4）（b＜-2）上的值域为（2，+∞），则a^b=    ．

12. 难度：中等

如图，将正偶数排列如表，其中第i行第j个数表示为a_ij（i，j∈N^*），例如a₄₃=18，若a_ij=2010，则i+j=    ．

13. 难度：中等

椭圆上存在一点M，它到左焦点的距离是它到右准线距离的2倍，则椭圆离心率的最小值为    ．

14. 难度：中等

锐角△ABC的三边a，b，c和面积S满足条件，又角C既不是△ABC的最大角也不是△ABC的最小角，则实数k的取值范围是    ．

15. 难度：中等

已知角A，B，C是△ABC的内角，向量=（1，），=（sin（π-A）），sin（A-）），⊥．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求函数y=2sin²B+cos（-2B）的值域．

16. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，AC₁⊥A₁B，D为AC的中点．
（Ⅰ）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求证：平面AB₁C₁⊥平面ABB₁A₁．

17. 难度：中等

经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数f（t）（万人）与时间t（天）的函数关系近似满足，人均消费g（t）（元）与时间t（天）的函数关系近似满足g（t）=115-|t-15|．
（Ⅰ）求该城市的旅游日收益w（t）（万元）与时间t（1≤t≤30，t∈N）的函数关系式；
（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元）．

18. 难度：中等

已知⊙O：x²+y²=1和点M（4，2）．
（Ⅰ）过点M向⊙O引切线l，求直线l的方程；
（Ⅱ）求以点M为圆心，且被直线y=2x-1截得的弦长为4的⊙M的方程；
（Ⅲ）设P为（Ⅱ）中⊙M上任一点，过点P向⊙O引切线，切点为Q．试探究：平面内是否存在一定点R，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}是以d为公差的等差数列，{b_n}数列是以q为公比的等比数列．
（Ⅰ）若数列的前n项和为S_n，且a₁=b₁=d=2，S₃＜a₁₀₀₃+5b₂-2010，求整数q的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试问数列中是否存在一项b_k，使得b_k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和？请说明理由；
（Ⅲ）若b₁=a_r，b₂=a_s≠a_r，b₃=a_t（其中t＞s＞r，且（s-r）是（t-r）的约数），求证：数列{b_n}中每一项都是数列{a_n}中的项．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）若函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，求t的值；
（Ⅲ）若存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1，试求a的取值范围．

21. 难度：中等

如图，已知OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是线段OA上一点，直线BP交⊙O于点Q，过Q作⊙O的切线交直线OA于点E，求证：∠OBP+∠AQE=45°．

22. 难度：中等

如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点．
（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅱ）求平面OAB与平面OCD所成的二面角的余弦值．

23. 难度：中等

点P_n（x_n，y_n）在曲线C：y=e^-x上，曲线C在点P_n处的切线l_n与x轴相交于点Q_n（x_n+1，0），直线t_n+1：x=x_n+1与曲线C相交于点P_n+1（x_n+1，y_n+1），（n=1，2，3，…）．由曲线C和直线l_n，t_n+1围成的图形面积记为S_n，已知x₁=1．
（Ⅰ）证明：x_n+1=x_n+1；
（Ⅱ）求S_n关于n的表达式；
（Ⅲ）记数列{S_n}的前n项之和为T_n，求证：（n=1，2，3，…）．