2010年江苏省扬州市高考数学四模试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

集合A={3，2^a}，B={a，b}，若A∩B={2}，则A∪B=    ．

2. 难度：中等

“x＞1”是“x²＞x”的    条件．

3. 难度：中等

复数z₁=3+i，z₂=1-i，则复数在复平面内对应的点位于第    象限．

4. 难度：中等

某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x-y|的值为    ．

5. 难度：中等

从[-1，1]内任意取两个实数，这两个数的平方和小于1的概率为     ．

6. 难度：中等

把函数y=cosx-sinx的图象沿向量=（-m，0）（其中m＞0）的方向平移后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是    ．

7. 难度：中等

设α，β为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题：
①若m∥n，n⊂α，则m∥α
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
③若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
④若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；
其中正确命题的序号为    ．

8. 难度：中等

函数f（x）=x³+ax在（1，2）处的切线方程为     ．

9. 难度：中等

执行下边的程序框图，若p=0.8，则输出的n=    ．

10. 难度：中等

已知函数，且关于x的方程f（x）+x-a=0有且仅有两个实根，则实数a的取值范围是    ．

11. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则a+c的最小值为    ．

12. 难度：中等

已知椭圆与抛物线y²=2px（p＞0）有相同的焦点F，P，Q是椭圆与抛物线的交点，若PQ经过焦点F，则椭圆的离心率为    ．

13. 难度：中等

在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，O点是内心，且，则λ₁+λ₂=   

14. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若（a₂-1）³+2010（a₂-1）=1，（a₂₀₀₉-1）³+2010（a₂₀₀₉-1）=-1，则下列四个命题中真命题的序号为    ．
①S₂₀₀₉=2009；②S₂₀₁₀=2010；③a₂₀₀₉＜a₂；④S₂₀₀₉＜S₂．

15. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，点D在边BC上，AD⊥C₁D．
（1）求证：AD⊥平面BCC₁B₁；
（2）如果点E是B₁C₁的中点，求证：A₁E∥平面ADC₁．

16. 难度：中等

已知函数的图象如图所示，
直线是其两条对称轴．
（1）求函数f（x）的解析式并写出函数的单调增区间；
（2）若f（α）=且，求f（α）的值．

17. 难度：中等

已知某种稀有矿石的价值y（单位：元）与其重量ω（单位：克）的平方成正比，且3克该种矿石的价值为54000元．
（1）写出y（单位：元）关于ω单位：克）的函数关系式；
（2）若把一块该种矿石切割成重量比为1：3的两块矿石，求价值损失的百分率；
（3）把一块该种矿石切割成两块矿石时，切割的重量比为多少时，价值损失的百分率最大．（注：价值损失的百分率=×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计）

18. 难度：中等

已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，焦点F在直线m：y=上，直线m与抛物线相交于A，B两点，P为抛物线上一动点（不同于A，B），直线PA，PB分别交该抛物线的准线l于点M，N．
（1）求抛物线方程；
（2）求证：以MN为直径的圆C经过焦点F，且当P为抛物线的顶点时，圆C与直线m相切．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：（n∈N^*，a∈R，a为常数），
数列{b_n}中，．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）证明：数列{b_n}为等差数列；
（3）求证：数列{b_n}中存在三项构成等比数列时，a为有理数．

20. 难度：中等

已知函数，a为正常数．
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且，求函数f（x）的单调增区间；
（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x₁，x₂∈（0，2]，x₁≠x₂，都有，求a的取值范围．

21. 难度：中等

已知矩阵A=，求A的特征值λ₁，λ₂及对应的特征向量，．

22. 难度：中等

已知直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为，设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值．

23. 难度：中等

如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=2，OB=3，OC=4，E是OC的中点．
（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；
（2）求二面角A-BE-C的余弦值．

24. 难度：中等

某学科的试卷中共有12道单项选择题，（每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项是正确的，答对得5分，不答或答错得0分）．某考生每道题都给出了答案，已确定有8道题答案是正确的，而其余的题中，有两道题每题都可判断其两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜．对于这12道选择题，试求：
（1）该考生得分为60分的概率；
（2）该考生所得分数ξ的分布列及数学期望Eξ．