2009年广东省惠州市高考数学模拟试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合M={4，5，-3m+（m-3）i}（其中i为虚数单位），N={-9，3}，且M∩N≠∅，则实数m的值为（ ）
A．-3
B．3
C．3或-3
D．-1

2. 难度：中等

某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为720的样本进行某项调查，则高二年级应抽取的学生数为（ ）
A．180
B．240
C．480
D．720

3. 难度：中等

在边长为1的等边△ABC中，设=（ ）
A．
B．0
C．
D．3

4. 难度：中等

如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

下列命题错误的是（ ）
A．命题“若m＞0，则方程x²+x-m=0有实根”的逆否命题为：“若方程x²+x-m=0无实根，则m≤0”
B．“x=1”是“x²-3x+2=0”的充分不必要条件
C．命题“若xy=0则x，y中至少有一个为零”的否定是“若xy≠0，则x，y都不为零”
D．对于命题p：∃x∈R，使得x²+x+1＜0；则¬p是：∀x∈R，均有x²+x+1≥0

6. 难度：中等

直线ax-y+2a=0与圆x²+y²=1的位置关系是（ ）
A．相离
B．相交
C．相切
D．不确定

7. 难度：中等

设集合A={1，2}，B={1，2，3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P（a，b），记“点P（a，b）落在直线x+y=n上”为事件C_n（2≤n≤5，n∈N），若事件C_n的概率最大，则n的所有可能值为（ ）
A．3
B．4
C．2和5
D．3和4

8. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为[-2，+∞），部分对应值如下表，

x	-2	0	4
f（x）	1	-1	1

f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示：若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．（，3）

二、解答题

9. 难度：中等

已知t＞0，若（2x-1）dx=6，则t=   

10. 难度：中等

已知流程图如右图所示，该程序运行后，为使输出的b值为16，则循环体的判断框内①处应填    ．

11. 难度：中等

以F₁、F₂为焦点的椭圆=1（a＞b＞0）上一动点P，当∠F₁PF₂最大时∠PF₁F₂的正切值为2，则此椭圆离心率e的大小为     ．

12. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₂=10，S₅=55，则过点P（n，a_n）和Q（n+2，a_n+2）（n∈N^*）的直线的斜率是    ．

13. 难度：中等

极坐标系中，曲线ρ=-4sinθ和ρcosθ=1相交于点A，B，则线段AB的长度为    ．

14. 难度：中等

函数y=|x-1|+|x-3|的最小值是    ．

15. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径的半圆交BC于D，过D作圆的切线交AC于E．
求证：（1）AE=CE；
（2）CD•CB=4DE²，

16. 难度：中等

已知函数．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）已知f（α）=3，且α∈（0，π），求α的值．

17. 难度：中等

统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：x+8（0＜x≤120）．已知甲、乙两地相距100千米．
（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

18. 难度：中等

已知关于x的一元二次函数f（x）=ax²-4bx+1．
（1）设集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；
（2）设点（a，b）是区域内的随机点，求y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥E-ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB=BC=CE=2CD=2，∠BCE=120°，F为AE中点．
（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面ABE；
（Ⅱ）求二面角A-EB-D的大小的余弦值；
（Ⅲ）求点F到平面BDE的距离．

20. 难度：中等

如图，已知直线l：y=kx-2与抛物线C：x²=-2py（p＞0）交于A，B两点，O为坐标原点，．
（Ⅰ）求直线l和抛物线C的方程；
（Ⅱ）抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积最大值．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}的首项，，n=1，2，…．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：对任意的x＞0，，n=1，2，…；
（Ⅲ）证明：．