2007年天津市高考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i是虚数单位=（ ）
A．1+i
B．-1+i
C．1-i
D．-1-i

2. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x+y的最大值为（ ）
A．4
B．11
C．12
D．14

3. 难度：中等

“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y²=24x的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

函数的反函数是（ C ）
A．y=4^x-2^x+1（x＞2）
B．y=4^x-2^x+1（x＞1）
C．y=4^x-2^x+2（x＞2）
D．y=4^x-2^x+2（x＞1）

6. 难度：中等

设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若a，b与α所成的角相等，则α∥b
B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
C．若a⊂α，b⊂β，α∥b，则α∥β
D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，是a⊥b

7. 难度：中等

在R上定义的函数f（x）是偶函数，且f（x）=f（2-x）．若f（x）在区间[1，2]上是减函数，则f（x）
（ ）
A．在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数
B．在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数
C．在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数
D．在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数

8. 难度：中等

设等差数列{a_n}的公差d不为0，a₁=9d．若a_k是a₁与a_2k的等比中项，则k=（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

9. 难度：中等

已知a、b、c均为正数，且满足，，，则（ ）
A．a＜b＜c
B．c＜a＜b
C．c＜b＜a
D．b＜a＜c

10. 难度：中等

设两个向量和，其中λ，m，α为实数．若，则的取值范围是（ ）
A．[-6，1]
B．[4，8]
C．（-∞，1]
D．[-1，6]

二、解答题

11. 难度：中等

若（x²+）⁶的二项展开式中x³的系数为，则a=    （用数字作答）．

12. 难度：中等

一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为    ．

13. 难度：中等

设等差数列{a_n}的公差d是2，前n项的和为S_n，则=    ．

14. 难度：中等

已知两圆x²+y²=10和（x-1）²+（y-3）²=20相交于A，B两点，则直线AB的方程是     ．

15. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，DC=2BD，则=    ．

16. 难度：中等

如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色．要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有    种（用数字作答）．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值．

18. 难度：中等

已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现在从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为黑色球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（I）证明：CD⊥AE；
（II）证明：PD⊥平面ABE；
（III）求二面角A-PD-C的大小．

20. 难度：中等

已知函数（x∈R），其中a∈R．
（I）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（II）当a≠0时，求函数f（x）的单调区间与极值．

21. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N^*），其中λ＞0．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（III）证明存在k∈N^*，使得对任意n∈N^*均成立．

22. 难度：中等

设椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，A是椭圆上的一点，AF₂⊥F₁F₂，原点O到直线AF₁的距离为．
（I）证明：；
（II）设Q₁，Q₂为椭圆上的两个动点，OQ₁⊥OQ₂，过原点O作直线Q₁Q₂的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．