2010年山东省威海市高考模拟数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数=（ ）
A．-1+i
B．1-i
C．+i
D．--i

2. 难度：中等

若A={x||x-|＜1}，B={x|≥1}，定义A×B={x|x∈A∪B且x∉A∩B}，则A×B=（ ）
A．∪
B．∪
C．
D．（0，1]

3. 难度：中等

下列命题中，正确的是（ ）
A．命题“∀x∈R，x²-x≤0”的否定是“∃x∈R，x²-x≥0”
B．命题“p∧q为真”是命题“pvq为真”的必要不充分条件
C．“若am²≤bm²，则a≤b”的否命题为真
D．若实数x，y∈[-1，1]，则满足x²+y²≥1的概率为

4. 难度：中等

某学校为了解高一男生的百米成绩，随机抽取了50人进行调查，右图是这50名学生百米成绩的频率分布直方图．根据该图可以估计出全校高一男生中百米成绩在[13，15]内的人数大约是140人，则高一共有男生（ ）
A．800
B．700
C．600
D．500

5. 难度：中等

双曲线-=1的两条渐近线与抛物线y²=-8x的准线所围成的三角形面积等于（ ）
A．3
B．2
C．
D．

6. 难度：中等

已知sin（a+）=，则cos（2a-）的值是（ ）
A．
B．
C．-
D．-

7. 难度：中等

停车场有3个并排的车位，分别停放着“奔驰”，“捷达”，“桑塔纳”轿车各一辆，则“捷达”停在“桑塔纳”右边的概率和“奔驰”停在最左边的概率分别是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，

8. 难度：中等

已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题．如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

9. 难度：中等

如图，某船在海上航行中遇险发出呼救信号，我海上救生艇在A处获悉后，立即测出该船在方位角45°方向，相距10海里的C处，还测得该船正沿方位角105°的方向以每小时9海里的速度行驶，救生艇立即以每小时21海里的速度前往营救，则救生艇与呼救船在B处相遇所需的最短时间为（ ）

A．小时
B．小时
C．小时
D．小时

10. 难度：中等

若圆x²+y²-4x+2y+1=0关于直线ax-2by-1=0（a，b∈R）对称，则ab的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足f（x）=-f（2-x），且当x＜1时f（x）递增，若x₁+x₂＞2，（x₁-1）（x₂-1）＜0，则f（x₁）+f（x₂）的值是（ ）
A．恒为正数
B．恒为负数
C．等于0
D．正、负都有可能

12. 难度：中等

如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a m（0＜a＜12）、4m，不考虑树的粗细．现在想用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD．设此矩形花圃的最大面积为S，若将这棵树围在花圃内，则函数S=f（a）（单位m²）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

若a=（sinx+cosx）dx，则二项式（a-）⁶展开式中x²项的系数为    ．

14. 难度：中等

右侧算法框图中所输出的结果S的值为     ．

15. 难度：中等

若等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₃+a₅=-30，a₁+a₅+a₉=-39，则使S_n取最小值的n=    ．

16. 难度：中等

三棱锥P-ABC的各顶点都在一半径为R的球面上，球心O在AB上，且有PA=PB=PC，底面△ABC中∠ABC=60°，则球与三棱锥的体积之比是    ．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π，x∈R）的导函数f′（x）的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最低点的坐标分别为M（-，3），N（，-3）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x）图象，直线x=t（t∈[0，]）与f（x），g（x）的图象分别交于P，Q两点，求|PQ|的最大值．

18. 难度：中等

甲、乙、丙三人玩游戏，规定每次在写有数字1，2，3，4，5，6的6张卡片中随机抽取一张，若数字为1或2或3，则甲得1分；若数字为4或5，则乙得1分；若数字为6，则丙得1分．一共抽取3次，得2分或3分者获胜．
（Ⅰ）求乙获胜的概率；
（Ⅱ）记ξ为甲得的分数，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．

19. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的直观图和三视图如图所示，E是PB的中点．
（Ⅰ）若F是BC上任一点，求证：AE⊥PF；
（Ⅱ）设AC，BD交于点O，求直线BO与平面ABC所成角的正弦值．

20. 难度：中等

已知{a_n}是各项都为正数的数列，其前n项和为S_n，且满足2a_nS_n-a_n²=1．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）令T_n=++…+，求证T_n≤．

21. 难度：中等

函数f（x）=x²-mln+mx-2m，其中m＜0．
（Ⅰ）试讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）已知当m≤-（其中e是自然对数的底数）时，在x∈（-，]至少存在一点x，使f（x）＞e+1成立，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：当m=-1时，对任意x₁，x₂∈（0，1），x₁≠x₂，有＜．

22. 难度：中等

如图所示，椭圆C：=1（a＞b＞0）的两个焦点为F₁、F₂，短轴两个端点为A、B．已知、、成等比数列，-=2，与x轴不垂直的直线l与C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k₁、k₂，且k₁•k₂=．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标；
（Ⅲ）当弦MN的中点P落在四边形F₁AF₂B内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值范围．