2008年北京市朝阳区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x|x²＜4}，，则集合M∩N等于（ ）
A．{x|x＜-2}
B．{x|x＞3}
C．{x|-1＜x＜2}
D．{x|2＜x＜3}

2. 难度：中等

“”是“A=30°”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也必要条件

3. 难度：中等

函数y=lg（x+1）的反函数的图象为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

在，则tanC的值是（ ）
A．-1
B．1
C．
D．2

5. 难度：中等

设α、β、γ是三个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列4个命题：
①若a∥α，b∥α，则a∥b；②若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥β；③若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β；④若a、b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b．其中正确命题是（ ）
A．③
B．④
C．①③
D．②④

6. 难度：中等

某校高中研究性学习小组对本地区2005年至2007年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭（ ）
A．82万盒
B．83万盒
C．84万盒
D．85万盒

7. 难度：中等

已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，抛物线C₂的顶点在原点，它的准线与双曲线C₁的左准线重合，若双曲线C₁与抛物线C₂的交点P满足PF₂⊥F₁F₂，则双曲线C₁的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域是R，且，函数f（x）满足f（x）=f（π+x），
当时，f（x）=2x+sinx，设a=f（-1），b=f（-2），c=f（-3）则（ ）
A．c＜b＜a
B．b＜c＜a
C．a＜c＜b
D．c＜a＜b

二、解答题

9. 难度：中等

P（1，-2）在直线l上的射影为Q（-1，1），则直线l的方程是    ．

10. 难度：中等

设x、y满足约束条件，则z=x²+y²的最小值是    ．

11. 难度：中等

若（n∈N^*）的展开式中第3项为常数项，则n=    ；展开式中二项式系数最大的是第    项．

12. 难度：中等

已知，且，∠AOB=60°，则=    ；与的夹角为    ．

13. 难度：中等

某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，已经排好的10个节目的相对顺序不变，且3个新节目不相邻，则该晚会的节目单的编排总数为     种．（用数字作答）

14. 难度：中等

设函数f（x）=a₁+a₂x+a₃x²+…+a_nx^n-1，，数列{a_n}满足f（1）=n²a_n（n∈N^*），则数列{a_n}的通项a_n等于．

15. 难度：中等

已知x∈R，向量，，a≠0．
（Ⅰ）求函数f（x）解析式，并求当a＞0时，f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当时，f（x）的最大值为5，求a的值．

16. 难度：中等

某市举行的一次数学新课程骨干培训，共邀请15名使用不同版本教材的教师，数据如下表所示：

（Ⅰ）从这15名教师中随机选出2名，求2人恰好是教不同版本的男教师的概率；
（Ⅱ）培训活动随机选出3名教师发言，求使用不同版本教材的女教师各至少一名的概率．

17. 难度：中等

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=120°，AC=CB=A₁A=1．
（Ⅰ）求证：B₁C₁∥平面A₁BC；
（Ⅱ）求三棱锥A-A₁CB的体积；
（Ⅲ）求二面角A₁-CB-A的正切值．

18. 难度：中等

设函数，a∈R．
（Ⅰ）当x=2时，f（x）取得极值，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）内为增函数，求a的取值范围．

19. 难度：中等

已知曲线W上的动点M到点F（1，0）的距离等于它到直线x=-1的距离．过点P（-1，0）任作一条直线l与曲线W交于不同的两点A、B，点A关于x轴的对称点为C．
（Ⅰ）求曲线W的方程；
（Ⅱ）求证；
（Ⅲ）求△PBC面积S的取值范围．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}对于任意p，q∈N^*，都有a_p+a_q=a_p+q，且a₁=2．
（1）求a_n的表达式；
（2）将数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇，a₈，a₉，a₁₀）；（a₁₁），（a₁₂，a₁₃），（a₁₄，a₁₅，a₁₆），（a₁₇，a₁₈，a₁₉，a₂₀）；（a₂₁），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₅+b₁₀₀的值；
（3）设A_n为数列的前n项积，是否存在实数a，使得不等式对一切n∈N^*都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．