高考数学一轮复习必备（第78课时）：第九章 直线、平面、简单几何体-直线与平面、直线与直线所成的角（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如图，两个半圆，大半圆中长为16cm的弦AB平行于直径CD，且与小半圆相切，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．34πcm²
B．126πcm²
C．32πcm²
D．36πcm²

2. 难度：中等

PA，PB，PC是从点P引出的三条射线，每两条的夹角均为60°，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中已知AB=1，D在棱BB₁上，且BD=1，若AD与平面AA₁C₁C所成的角为α，则α=（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

一直线和直二面角的两个面所成的角分别是α，β，则α+β的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

5. 难度：中等

已知AB是两条异面直线AC，BD的公垂线段，AB=1，AC=BD=10，，则AC，BD所成的角为    ．

6. 难度：中等

如图，在底面边长为2的正三棱锥V-ABC中，E是BC的中点，若△VAE的面积是，则侧棱VA与底面所成角的大小为arcsin．（结果用反三角函数值表示）

7. 难度：中等

在60的二面角α-l-β中，A∈α，B∈β，已知A、B到l的距离分别是2和4，且AB=10，A、B在l的射影分别为C、D．
求：（1）CD的长度；
（2）AB和棱l所成的角．

8. 难度：中等

在棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是正方形A₁B₁C₁D₁的中心，点P在棱CC₁上，且CC₁=4CP．
（Ⅰ）求直线AP与平面BCC₁B₁所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）设O点在平面D₁AP上的射影是H，求证：D₁H⊥AP；
（Ⅲ）求点P到平面ABD₁的距离．

9. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，AE⊥PD，EF∥CD，AM=EF
（1）证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；
（2）若PA=3AB，求直线AC与平面EAM所成角的正弦值．

10. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC是正三角形∠PCA=90°，D是PA中点，二面角P-AC-B为120°，PC=2，AB=．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）求BD与平面ABC所成角．

11. 难度：中等

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，侧面AB₁与侧面AC₁所成的二面角为60°，M为AA₁上的点，∠A₁MC₁=30°，∠CMC₁=90°，AB=a．
（1）求BM与侧面AC₁所成角的正切值；
（2）求顶点A到面BMC₁的距离．

12. 难度：中等

下面是关于三棱锥的四个命题：
①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．
③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．
④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
其中，真命题的编号是_____①④_．（写出所有真命题的编号）