2011年高考数学复习：6.7 数学归纳法2（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

某个命题与自然数n有关，若n=k（k∈N^*）时命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立．现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（ ）
A．当n=6时，该命题不成立
B．当n=6时，该命题成立
C．当n=4时，该命题不成立
D．当n=4时，该命题成立

2. 难度：中等

已知f（n）=+++…+，则（ ）
A．f（n）中共有n项，当n=2时，f（2）=+
B．f（n）中共有n+1项，当n=2时，f（2）=++
C．f（n）中共有n²-n项，当n=2时，f（2）=+
D．f（n）中共有n²-n+1项，当n=2时，f（2）=++

3. 难度：中等

用数学归纳法证明1+2+3+…+n²=，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（ ）
A．k²+1
B．（k+1）²
C．
D．（k²+1）+（k²+2）+（k²+3）+…+（k+1）²

4. 难度：中等

设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：“当f（k）≥k²成立时，总可推出f（k+1）≥（k+1）²成立”．那么，下列命题总成立的是（ ）
A．若f（1）＜1成立，则f（10）＜100成立
B．若f（2）＜4成立，则f（1）≥1成立
C．若f（3）≥9成立，则当k≥1时，均有f（k）≥k²成立
D．若f（4）≥25成立，则当k≥4时，均有f（k）≥k²成立

5. 难度：中等

对于不等式＜n+1（n∈N^*），某同学用数学归纳法的证明过程如下：
（1）当n=1时，＜1+1，不等式成立．
（2）假设当n=k（k∈N^*）时，不等式成立，即＜k+1，则当n=k+1时，=＜==（k+1）+1，∴当n=k+1时，不等式成立．
则上述证法（ ）
A．过程全部正确
B．n=1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n=k到n=k+1的推理不正确

6. 难度：中等

满足1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=3n²-3n+2的自然数n等于（ ）
A．1
B．1或2
C．1，2，3
D．1，2，3，4

7. 难度：中等

如图是某班一次数学测验成绩的频数分布直方图，则数学成绩在69.5～89.5分范围内的学生占全体学生的（ ）

A．47.5%
B．60%
C．27%
D．36%

二、解答题

8. 难度：中等

如图，这是一个正六边形的序列：

则第n个图形的边数为     ．

9. 难度：中等

如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来（n=1，2，3，…），则第n-2（n≥3，n∈N^*）个图形中共有     个顶点．

10. 难度：中等

设f（n）=1+++…+（n∈N^*）．
求证：f（1）+f（2）+…+f（n-1）=n•[f（n）-1]（n≥2，n∈N^*）．

11. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁=-，a_n²+（a_n+1+2）a_n+2a_n+1+1=0．
求证：（1）-1＜a_n＜0；
（2）a_2n＞a_2n-1对一切n∈N^*都成立；
（3）数列{a_2n-1}为递增数列．

12. 难度：中等

是否存在常数a，b，c使得等式1•2²+2•3²+…+n（n+1）²=（an²+bn+c）对于一切正整数n都成立？并证明你的结论．