2007年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合U=R，集合M={x|x＞0}，N={x|x²≥x}，则下列关系中正确的是（ ）
A．M∩N∈M
B．M∪N⊆M
C．（C_UM）∪N=Φ
D．（C_UN）∩M⊆M

2. 难度：中等

在△ABC中，“sin2A=sin2B”是“A=B”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知a、b是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，给出四个命题：
①a∥b，b∥α，则a∥α；
②a、b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β；
③a与α成30°的角，a⊥b，则b与α成60°的角；
④a⊥α，b∥α，则a⊥b．
其中正确命题的个数是（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

4. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项为S_n，S₃=3，S₆=27，则此等比数列的公比q等于（ ）
A．2
B．-2
C．
D．-

5. 难度：中等

从4位男教师和3位女教师中选出3位教师，派往郊区3所学校支教，每校1人．要求这3位教师中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（ ）
A．210种
B．186种
C．180种
D．90种

6. 难度：中等

已知函数在区间M上的反函数是其本身，则M可以是（ ）
A．[-2，2]
B．[-2，0]
C．[0，2]
D．[-2，0）

7. 难度：中等

已知椭圆的焦点是F₁、F₂，P是椭圆上的一个动点，过点F₂向∠F₁PF₂的外角平分线作垂线，垂足为M，则点M的轨迹是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．直线
D．双曲线的一支

8. 难度：中等

已知计算机中的某些存储器有如下特性：若存储器中原有数据个数为m个，则从存储器中取出n个数据后，此存储器中的数据个数为m-n个；若存储器中原有数据为m个，则将n个数据存入存储器后，此存储器中的数据个数为m+n个．现已知计算机中A、B、C三个存储器中的数据个数均为0，计算机有如下操作：
第一次运算：在每个存储器中都存入个数相同且个数不小于2的数据；
第二次运算：从A存储器中取出2个数据，将这2个数据存入B存储器中；
第三次运算：从C存储器中取出1个数据，将这1个数据存入B存储器中；
第四次运算：从B存储器中取出A存储器中个数相同的数据，将取出的数据存入A存储器，则这时存储器B中的数据个数是（ ）
A．8
B．7
C．6
D．5

二、解答题

9. 难度：中等

设复数z₁=1+2i，z₂=2-i，则等于   

10. 难度：中等

若（1-ax）⁶的展开式中x⁴的系数是240，则实数a的值是    ．

11. 难度：中等

圆x²+y²+4x-2y+4=0上的点到直线x-y-1=0的最大距离与最小距离的差为    ．

12. 难度：中等

已知一个球与一个二面角的两个半平面都相切，若球心到二面角的棱的距离是，切点到二面角棱的距离是1，则球的表面积是    ，球的体积是    ．

13. 难度：中等

已知向量，，且∥，则||=    ，的坐标是     ．

14. 难度：中等

已知函数且不等式f（x）≥a的解集是（-∞，-2]∪[0，2]，则实数a的值是   

15. 难度：中等

已知向量=（cosx，sinx），=（-cosx，cosx），函数f（x）=2•+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈[0，2π]时，求f（x）的单调减区间．

16. 难度：中等

甲、乙两支篮球队进行比赛，已知每一场甲队获胜的概率为0.6，乙队获得的概率为0.4，每场比赛均要分出胜负，比赛时采用三场两胜制，即先取得两场胜利的球队胜出．
（Ⅰ）求甲队以二比一获胜的概率；
（Ⅱ）求乙队获胜的概率；
（Ⅲ）若比赛采用五场三胜制，试问甲获胜的概率是增大还是减小，请说明理由．

17. 难度：中等

如图，棱长为1的正四面体ABCD中，E、F分别是棱AD、CD的中点，O是点A在平面BCD内的射影．
（Ⅰ）求直线EF与直线BC所成角的大小；
（Ⅱ）求点O到平面ACD的距离；
（Ⅲ）求二面角E-BE-F的大小．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1处有极值，f（x）在x=2处的切线l不过第四象限且倾斜角为，坐标原点到切线l的距离为．
（Ⅰ）求a、b、c的值；
（Ⅱ）求函数上的最大值和最小值．

19. 难度：中等

已知双曲线的中心在原点O，右焦点为F（c，0），P是双曲线右支上一点，且△OEP的面积为
（Ⅰ）若点P的坐标为，求此双曲线的离心率；
（Ⅱ）若，当取得最小值时，求此双曲线的方程．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项为和S_n，点在直线上．数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₃=11，前9项和为153．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，数列{c_n}的前n和为T_n，求使不等式对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．
（Ⅲ）设是否存在m∈N^*，使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．