2011年高考数学综合复习试卷（2）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如图所示的算法流程图中，若f（x）=2^x，g（x）=x³，则h（2）的值为（ ）

A．9
B．8
C．6
D．4

2. 难度：中等

已知函数f（x）=xsinx，若x₁、且f（x₁）＜f（x₂），则下列不等式中正确的是（ ）
A．₁＞x₂
B．x₁＜x₂
C．x₁+x₂＜0
D．x₁²＜x₂²

3. 难度：中等

高8m和4m的两根旗杆笔直地竖在水平地面上，且相距10m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线

4. 难度：中等

若m、n是互不相同的空间直线，α是平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若m∥n，n⊂α，则m∥α
B．若m∥n，n∥α，则m∥α
C．若m∥n，n⊥α，则m⊥α
D．若m⊥n，n⊥α，则m⊥α

二、解答题

5. 难度：中等

已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率e=2，且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C的方程为     ．

6. 难度：中等

已知的展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56：3，则该展开式中x²的系数     ．

7. 难度：中等

依据某校高一年级一班在体育毕业考试中全班所有学生成绩，制成的频数分布直方图如图（学生成绩取整数），则成绩在21.5～24.5这一分数段的频数和频率分别是     ．

8. 难度：中等

在平面直角坐标系中，A（3，0）、B（0，3）、C（cosθ，sinθ），，且．
（1）求角θ的值；
（2）设α＞0，，且，求y=2-sin²α-cos²β的最小值．

9. 难度：中等

已知平面向量，，其中ω＞0且，函数f（x）的图象两相邻对称轴之间的距离为．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）在区间上的最大值及相应的x的值．

10. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，，b+c=7，且4sin²A=1+cosA．
（1）求cosA的值；
（2）求△ABC的面积．

11. 难度：中等

如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北30°的方向上，仰角为15°，行驶4km后到达B处，测得此山顶在西偏北45^o的方向上．
①求此山的高度；
②设汽车行驶过程中仰望山顶D的最大仰角为θ，求tanθ．

12. 难度：中等

有编号01～12的12种食品，它们微量元素A的含量依次是：42、45、a、b、85、94、100、108、133、138、150、175（其中45＜a＜b＜85），平均含量和方差分别是100、1656．
①求a、b；
②按编号用系统抽样法从以上12种食品中随机地抽4种分析微量元素B，求06号食品被抽中的概率；
③如果微量元素B与微量元素A具有线性相关关系，②抽样所得样本中，哪个样本用来分析微量元素B更有代表性？
（参考数值：（42-100）²+（45-100）²+（85-100）²+（94-100）²+（100-100）²+（108-100）²+（133-100）²+（138-100）²+（150-100）²+（175-100）²=17372）

13. 难度：中等

已知5只动物中有且仅有1只患病，需要通过化验血液确定患病动物．血检呈阳性即为患病，否则没患病．现有以下两种验血方案，每种验血方案都直到检验出某动物血液呈阳性为止．
甲：逐个随机检验．
乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验，若呈阳性，表明患病动物在这3只之中，再对这3只逐个随机检验；否则，在另外两只中逐个随机检验．
①甲、乙哪个方案能更快检验出患病动物；
②求依方案乙所需检验次数不多于依方案甲所需检验次数的概率．

14. 难度：中等

如图，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计M的面积：在正方形ABCD中随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为．假设正方形ABCD的边长为2，M的面积为1，并向正方形ABCD中随机投掷10000个点，以X表示落入M中的点的数目．
（I）求X的均值EX；
（II）求用以上方法估计M的面积时，M的面积的估计值与实际值之差在区间（-0.03，0.03）内的概率．
附表：

15. 难度：中等

不等式组（其中a∈R）表示的平面区域记为D，∀P（x，y）∈D，z=x+y的最大值和最小值分别为M、m，已知m=-4．
①求a和M的值；
②在D中随机取一点P（x，y），求的概率．

16. 难度：中等

某旅馆有相同标准的床铺100张，根据经验，当旅馆的床价（即每床每天的租金）不超过10元时，床位可以全部租出，当床价高于10元，每提高1元，将有3张床空置．旅馆定价条件是：（1）床价为1元的整数倍；（2）该旅馆每天支出为575元，床位出租收入必须高于支出．若用x表示床价，y表示每天出租床位的净收入（即除去每天支出后的收入）．
①把y表示成x的函数，并求出其定义域；
②如何定价，该旅馆每天净收入最多？

17. 难度：中等

如图所示，小李和小陈做转陀螺游戏，他们同时分别转动一个陀螺，当两个陀螺都停下来时，与桌面相接触的边上的数字都是奇数的概率是 ______．

18. 难度：中等

某厂为了研究生产率x与废品率y之间的关系，记录了4天的数据：

生产率（个/周）	1000	2000	3500	4500
废品率（%）	5.1	6	8.1	10

①用最小二乘法求y关于x的线性回归方程；
②根据所求得的回归方程预测每周生产6000个时的废品率．

19. 难度：中等

在一次休闲方式调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人，女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．
（1）根据以上数据建立一个2×2列联表；
（2）检验性别与休闲多大程度上有关系．
附：（1）Χ²的计算公式：；
（2）临值表：

P（Χ^2≥x）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
x	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

20. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E在棱CC₁的延长线上，且CC₁=C₁E=BC=AB=1．
①求证：D₁E∥平面ACB₁；
②求证：平面D₁B₁E⊥平面DCB₁．

21. 难度：中等

如图a，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=BC=AD=1，E是底边AD的中点，沿CE将△CDE折起，使A-CE-D是直二面角（如图b）．在图b中过D作DF⊥平面BCD，EF∥平面BCD．
①求证：DF⊂平面CDE；
②求点F到平面ACD的距离；
③求面ACE与面ACF所成二面角的余弦值．

22. 难度：中等

平面直角坐标系xOy中，动点P从点P（4，0）出发，运动过程中，到定点F（-2，0）的距离与到定直线l：x=-8的距离之比为常数．
①求点P的轨迹方程；
②在轨迹上是否存在点M（s，t），使得以M为圆心且经过定点F（-2，0）的圆与直线x=8相交于两点A、B？若存在，求s的取值范围；若不存在，说明理由．

23. 难度：中等

已知椭圆C₁：，双曲线C₂与C₁具有相同的焦点，且离心率互为倒数．
①求双曲线C₂的方程；
②圆C：x²+y²=r²（r＞0）与两曲线C₁、C₂交点一共有且仅有四个，求r的取值范围；是否存在r，使得顺次连接这四个交点所得到的四边形是正方形？

24. 难度：中等

设动点P（x，y）（x≥0）到定点的距离比它到y轴的距离大，记点P的轨迹为曲线C，
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设圆M过A（1，0），且圆心M在P的轨迹上，EF是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时弦长|EF|是否为定值？请说明理由．

25. 难度：中等

已知数列a_n的首项a₁=0，a_n+a_n+1（n∈N^*）是首项为1、公差为3的等差数列．
①求a_n的通项公式；
②求数列2^-n×a_n的前n项和S_n．

26. 难度：中等

设数列a_n、b_n、c_n的前n项和分别为S_n、T_n、R_n，对∀n∈N*，a_n=5S_n+1，，c_n=b_2n-b_2n-1．
①求a_n的通项公式；
②求证：；
③若T_n＜λn，对∀n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

27. 难度：中等

已知函数，a∈R是常数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）求时，f（x）零点的个数；
③求证：（n∈N^*，e为自然对数的底数）．

28. 难度：中等

在R上定义运算：（b、c∈R是常数），已知f₁（x）=x²-2c，f₂（x）=x-2b，f（x）=f₁（x）f₂（x）．
①如果函数f（x）在x=1处有极值，试确定b、c的值；
②求曲线y=f（x）上斜率为c的切线与该曲线的公共点；
③记g（x）=|f′（x）|（-1≤x≤1）的最大值为M，若M≥k对任意的b、c恒成立，试求k的取值范围．（参考公式：x³-3bx²+4b³=（x+b）（x-2b）²）