2009年北京市宣武区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知向量=（1，2），=（x，2），则向量+2与2-（ ）
A．垂直的必要条件是x=-2
B．垂直的充要条件是
C．平行的充分条件是x=-2
D．平行的充要条件是x=1

3. 难度：中等

已知两个正数a、b的等差中项是5，则a²、b²的等比中项的最大值为（ ）
A．100
B．50
C．25
D．10

4. 难度：中等

已知a，b为直线，α，β，γ为平面，①a⊥α，b⊥α，则a∥b；②a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β；③γ⊥α，γ⊥β，则α∥β；④a⊥α，α⊥β，则a∥β．以上结论正确的是（ ）
A．①②
B．①④
C．③④
D．②③

5. 难度：中等

要从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，若按性别依此比例分层抽样且某男生担任队长，则不同的抽样方法数是（ ）
A．C₉³C₅²
B．C₁₀³C₅²
C．A₁₀³A₅²
D．C₁₀⁴C₅²

6. 难度：中等

顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，AB=1，AA′=，则A、C两点间的球面距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

设f（x）是一个三次函数，f′（x）为其导函数，如图所示的是y=x•f′（x）的图象的一部分，则f（x）的极大值与极小值分别是（ ）
A．f（1）与f（-1）
B．f（-1）与f（1）
C．f（-2）与f（2）
D．f（2）与f（-2）

8. 难度：中等

抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，点A、B在抛物线上，且∠AFB=120°，弦AB中点M在准线l上的射影为M₁，则的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

（理）（）=    ．

10. 难度：中等

在△ABC中，若∠B=60°，，BC=2，则AC=    ．

11. 难度：中等

（x+）⁹展开式中x³的系数是    ．（用数字作答）

12. 难度：中等

已知实数则该不等式组表示的平面图形的面积是    ；代数式（x-1）²+（y-2）²的最小值是    ．

13. 难度：中等

已知（n，a_n）（n∈N^*）是直线y=2x+1上的一点，数列{b_n}满足b_n=，S_n是数列{b_n}的前n项和，则S₁₀=    ．

14. 难度：中等

在平面直角坐标系中，定义点P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）之间的“直角距离”为d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．若C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的“直角距离”相等，其中实数x、y满足0≤x≤10，0≤y≤10，则所有满足条件点C的轨迹的长度之和为     ．

15. 难度：中等

设函数f（x）=ln（2x+3）+x²
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）求f（x）在区间[-，]的最大值和最小值．

16. 难度：中等

在A、B两只口袋中均有2个红球和2个白球，先从A袋中任取2个球转放到B袋中，再从B袋中任取1个球转放到A袋中，结果A袋中恰有ξ个红球．
（1）求ξ=1时的概率；
（2）求随机变量ξ的分布列及期望．

17. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁=BC=2，且M是BC的中点，点N在CC₁上．
（1）试确定点N的位置，使AB₁⊥MN；
（2）当AB₁⊥MN时，求二面角M-AB₁-N的大小．

18. 难度：中等

数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（c是不为零的常数，n=1，2，3，…），且a₁，a₂，a₃成等比数列．
（1）求c的值；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）设数列的前n项之和为T_n，求T_n．

19. 难度：中等

椭圆C的中心坐标为原点O，焦点在y轴上，焦点到相应准线的距离以及离心率均为，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A．
（1）求椭圆方程；
（2）若的取值范围｡．

20. 难度：中等

已知数列a_n满足递推关系式：2a_n+1=1-a_n²（n≥1，n∈N），且0＜a₁＜1．
（1）求a₃的取值范围；
（2）用数学归纳法证明：（n≥3，n∈N）；
（3）若，求证：（n≥3，n∈N）．