2010年北京市昌平区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x|x²-4＞0}，B={x|}，则A∩B=（ ）
A．{x|x＞2}
B．{x|x＜-2}
C．{x|x＜-2或x＞2}
D．{x|x＜}

2. 难度：中等

若复数是虚数单位）是纯虚数，则m=（ ）
A．-i
B．i
C．-1
D．1

3. 难度：中等

已知命p：∃x∈R，使得x+，命题q：∀x∈R，x²+x+1＞0，下列结论正确的是（ ）
A．命题“p∧q”是真命题
B．命题“（￢p）∧q”是真命题
C．命题“p∧（￢q）”是真命题
D．命题“（￢p）∧（￢q）”是真命题

4. 难度：中等

如图所示是某赛季甲、乙两名篮球运动员参加的6场比赛得分的茎叶图，s₁，s₂分别表示甲、乙两名运动员这个赛季得分的标准差，分别表示甲、乙两名运动员这个赛季得分的平均数，则有（ ）

A．，s₁＞s₂
B．，s₁＜s₂
C．，s₁＞s₂
D．，s₁＜s₂

5. 难度：中等

在图所示的流程图中，若输入值分别为，b=log₂0.3，c=2^0.3，则输出的数为（ ）

A．a
B．b
C．c
D．无法确定

6. 难度：中等

已知α、β是两个不同平面，m、n是两不同直线，下列命题中的假命题是（ ）
A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
B．若m∥α，α∩β=n，则m∥n
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β

7. 难度：中等

2010年的自主招生工作，部分高校实施校长实名推荐制．某中学获得推荐4名学生的资格，可以选择的大学有三所，而每所大学至多接受该校的2名推荐生，那么校长推荐的方案有（ ）
A．18种
B．24种
C．36种
D．54种

8. 难度：中等

设向量，定义一种向量积：．已知，点P在y=sinx的图象上运动，点Q在y=f（x）的图象上运动，且满足（其中O为坐标原点），则y=f（x）的最大值及最小正周期分别是（ ）
A．
B．
C．3，π
D．3，4π

二、解答题

9. 难度：中等

圆p=-4sinθ的圆心的直角坐标是    ；若此圆与直线pcosθ=1相交于点M、N，则|MN|=    ．

10. 难度：中等

已知平面向量，，且=    ．

11. 难度：中等

若抛物线y²=4x上一点M到该抛物线的焦点F的距离|MF|=5，则点M到x轴的距离为    ．

12. 难度：中等

如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD交于点P，若，则AB=    ．

13. 难度：中等

已知函数，若函数f（x）的图象经过点（3，），则a=    ；若函数f（x）满足对任意x₁≠x₂，都有成立，那么实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

定义运算符号：“”，这个符号表示若干个数相乘，例如：可将1×2×3×…×n记作，（n∈N^*）．记T_n=，其中a_i为数列{a_n}（n∈N^*）中的第i项．
①若a_n=3n-2，则T₄=    ；
②若T_n=2n²（n∈N^*），则a_n=    ．

15. 难度：中等

设函数+sin2x．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若AB=1，sinB=，，求AC的长．

16. 难度：中等

甲和乙参加智力答题活动，活动规则：①答题过程中，若答对则继续答题；若答错则停止答题；②每人最多答3个题；③答对第一题得10分，第二题得20分，第三题得30分，答错得0分．已知甲答对每个题的概率为，乙答对每个题的概率为．
（I）求甲恰好得30分的概率；
（II）设乙的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（III）求甲恰好比乙多30分的概率．

17. 难度：中等

已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．
（I）证明：BN⊥平面C₁B₁N；
（II）求二面角C-NB₁-C₁的余弦值；M为AB中点，在线段CB上是否存在一点P，使得MP∥平面CNB₁，若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

已知函数，其中a为大于零的常数．
（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=1-2x平行，求a的值；
（II）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值．

19. 难度：中等

已知椭圆C：的长轴长为，离心率．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过点B（2，0）的直线l（斜率不等于零）与椭圆C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），且△OBE与△OBF的面积之比为，求直线l的方程．

20. 难度：中等

设函数，数列{a_n}满足．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^n-1a_na_n+1，若T_n≥tn²对n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围；
（III）在数列{a_n}中是否存在这样一些项：，这些项能够构成以a₁为首项，q（0＜q＜5，q∈N^*）为公比的等比数列，k∈N^*．若存在，写出n_k关于k的表达式；若不存在，说明理由．