2008年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设A，B是全集I的两个子集，且A⊆B，则下列结论一定正确的是（ ）
A．I=A∩B
B．I=A∪B
C．I=B∪（∁_IA）
D．I=A∪（∁_IB）

2. 难度：中等

设m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，且m，n⊂α．则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

3. 难度：中等

若x、y∈R，且2y是1+x和1-x的等比中项，则动点（x，y）的轨迹为除去x轴上点的（ ）
A．一条直线
B．一个圆
C．双曲线的一支
D．一个椭圆

4. 难度：中等

圆（x-1）²+y²=1被直线x-y=0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为（ ）
A．1：2
B．1：3
C．1：4
D．1：5

5. 难度：中等

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，AB=5，AC=4，若△ABC∽△BDC，则CD=（ ）

A．2
B．
C．
D．

6. 难度：中等

从5名奥运志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ）
A．24种
B．36种
C．48种
D．60种

7. 难度：中等

已知P，A，B，C是平面内四点，且，那么一定有（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设a＞1，函数y=|log_ax|的定义域为[m，n]（m＜n），值域为[0，1]，定义“区间[m，n]的长度等于n-m”，若区间[m，n]长度的最小值为，则实数a的值内（ ）
A．11
B．6
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

若复数i•（2+bi）是纯虚数，则实数b=    ．

10. 难度：中等

已知α是第二象限的角，tanα=，则cosα=   

11. 难度：中等

在（2x+1）⁴的展开式中，x²的系数是    ；展开式中各项系数的和为    ．

12. 难度：中等

设向量=（1，x），=（2，1-x），若•＜0，则实数x的取值范围是     ．

13. 难度：中等

将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使平面ACD⊥平面ABC，则折起后B，D两点的距离为     ；三棱锥D-ABC的体积是     ．

14. 难度：中等

设函数f（x），g（x）的定义域分别为D_f，D_g，且D_f，D_E．若对于任意x∈D_f，都有g（x）=f（x），则称函数g（x）为f（x）在D_g上的一个延拓函数．设f（x）=2^x（x≤0），g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是偶函数，则g（x）=    ．

15. 难度：中等

某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题．规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰．已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是，，，且各阶段通过与否相互独立．
（Ⅰ）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；
（Ⅱ）设该选手在竞赛中回答问题的个数为ξ，求ξ的数学期望和方差．

16. 难度：中等

设，函数f（x）=sin²（x+φ），且．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）若，求f（x）的最大值及相应的x值．

17. 难度：中等

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，，E是DD₁的中点．
（Ⅰ）求直线B₁D和平面A₁ADD₁所成角的大小；
（Ⅱ）求证：B₁D⊥AE；
（Ⅲ）求二面角C-AE-D的大小．

18. 难度：中等

数列a_n中，a₁=-3，a_n=2a_n-1+2ⁿ+3（n≥2且n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）设，证明{b_{n ^}}是等差数列；
（3）求数列{a_n^}的前n项和S_n．

19. 难度：中等

已知抛物线的方程为x²=2py（p＞0），过点P（0，p）的直线l与抛物线相交于A、B两点，分别过点A、B作抛物线的两条切线l₁和l₂，记l₁和l₂相交于点M．
（Ⅰ）证明：直线l₁和l₂的斜率之积为定值；
（Ⅱ）求点M的轨迹方程．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x-x（e为自然对数的底数）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）设不等式f（x）＞ax的解集为P，且{x|0≤x≤2}⊆P，求实数a的取值范围；
（3）设n∈N^*，证明：．