2010年福建省龙岩市高三第一次质量检查数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i为虚数单位，若，若，则a的值为（ ）
A．i
B．-i
C．-2i
D．2i

2. 难度：中等

已知实数x，y满足，则（x-1）²+y²的最大值为（ ）
A．
B．2
C．4
D．5

3. 难度：中等

已知集合A={x|a-2＜x＜a+2}，B={x|x≤-2或x≥4}，则A∩B=∅的充要条件是（ ）
A．0≤a≤2
B．-2＜a＜2
C．0＜a≤2
D．0＜a＜2

4. 难度：中等

学校为了调查高三学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[80，90）元的同学有60人，则n的值为（ ）
A．200
B．2000
C．180
D．1800

5. 难度：中等

程序框图如图所示：

如果输入x=5，则输出结果为（ ）
A．109
B．325
C．973
D．2917

6. 难度：中等

已知直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，下面有三个命题：
①α∥β⇒m⊥n；
②α⊥β⇒m∥n；
③m∥n⇒α⊥β；
则真命题的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

7. 难度：中等

已知，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，则φ的值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设向，t是实数，|-t|的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．

9. 难度：中等

如图，当参数λ分别取λ₁，λ₂时，函数y=（x≥0）的部份图象分别对应曲线C₁和C₂，则（ ）
A．0＜λ₁＜λ₂
B．0＜λ₂＜λ₁
C．λ₁＜λ₂＜0
D．λ₂＜λ₁＜0

10. 难度：中等

对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数，例如[2]=2；[2.1]=2；[-2.2]=-3，这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用，那么[log₃1]+[log₃2]+[log₃3]+…+[log₃243]的值为（ ）
A．847
B．850
C．852
D．857

二、解答题

11. 难度：中等

=    ．

12. 难度：中等

如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，且BD：DC：AD=2：3：6，则∠BAC的大小为     ．

13. 难度：中等

x²（1-x）⁶展开式中含x⁴项的系数为    ．

14. 难度：中等

已知曲线与直线x+y-1=0相交于P、Q两点，且（O为原点），则的值为    ．

15. 难度：中等

现有5男5女共10个小孩设想做如下游戏：先让4个小孩（不全为男孩）等距离站在一个圆周的4个位置上，如果相邻两个小孩同为男孩或同为女孩，则在他（她）们中间站进一个男孩，否则站进一个女孩，然后让原来的4个小孩暂时退出，即算一次活动．这种活动按上述规则继续进行，直至圆周上所站的4个小孩都为男孩为止，则这样的活动最多可以进行    次．

16. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₁=1，S_n为前n项和，且满足S_2n-2S_n=n²，n∈N^*．
（1）求a₂及{a_n}的通项公式；
（2）记，求{b_n}的前n项和T_n．

17. 难度：中等

某地决定新建A，B，C三类工程，A，B，C三类工程所含项目的个数分别占总项目数的（总项目数足够多），现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．
（Ⅰ）求他们选择的项目所属工程类别相同的概率；
（Ⅱ）记ξ为3人中选择的项目属于B类工程或C类工程的人数，求ξ的分布列及数学期望．

18. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的直观图（如图1）及左视图（如图2），底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB．
（Ⅰ）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）求异面直线PD与AB所成角的余弦值；
（Ⅲ）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的大小．

19. 难度：中等

平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F₁（0，-c），F₂（0，c），A（c，0）三点，其中c＞0．
（1）求⊙M的标准方程（用含c的式子表示）；
（2）已知椭圆（其中a²-b²=c²）的左、右顶点分别为D、B，⊙M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧．
①求椭圆离心率的取值范围；
②若A、B、M、O、C、D（O为坐标原点）依次均匀分布在x轴上，问直线MF₁与直线DF₂的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-4x+a+3，g（x）=mx+5-2m．
（Ⅰ）若y=f（x）在[-1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=0时，若对任意的x₁∈[1，4]，总存在x₂∈[1，4]，使f（x₁）=g（x₂）成立，求实数m的取值范围．

21. 难度：中等

（Ⅰ）已知矩阵，△ABC的顶点为A（0，0），B（2，0），C（1，2），求△ABC在矩阵M^-1的变换作用下所得△A′B′C′的面积．
（Ⅱ）极坐标的极点是直角坐标系原点，极轴为X轴正半轴，直线l的参数方程为．
（t为参数）．⊙O的极坐标方程为ρ=2，若直线l与⊙O相切，求实数x的值．
（Ⅲ）已知a，b，c∈R⁺，且，求a+2b+3c的最小值及取得最小值时a，b，c的值．