2008年上海市高考数学试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

不等式|x-1|＜1的解集是    ．

2. 难度：中等

若集合A={x|x≤2}、B={x|x≥a}满足A∩B={2}，则实数a=    ．

3. 难度：中等

若复数z满足z=i（2-z）（i是虚数单位），则z=    ．

4. 难度：中等

若函数f（x）的反函数为f^-1（x）=x²（x＞0），则f（4）=    ．

5. 难度：中等

若向量，满足且与的夹角为，则=    ．

6. 难度：中等

函数的最大值是     ．

7. 难度：中等

在平面直角坐标系中，从六个点：A（0，0）、B（2，0）、C（1，1）、D（0，2）、E（2，2）、F（3，3）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是    （结果用分数表示）．

8. 难度：中等

设函数f（x）是定义在R上的奇函数，若当x∈（0，+∞）时，f（x）=lg x，则满足f（x）＞0的x的取值范围是    ．

9. 难度：中等

已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，平均数为10．若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是     ．

10. 难度：中等

某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h₁、h₂，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ₁、θ₂，那么船只已进入该浅水区的判别条件是    ．

11. 难度：中等

方程x²+x-1=0的解可视为函数y=x+的图象与函数y=的图象交点的横坐标，若x⁴+ax-4=0的各个实根x₁，x₂，…，x_k（k≤4）所对应的点（x_i，）（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是    ．

二、选择题

12. 难度：中等

组合数C_n^r（n＞r≥1，n、r∈Z）恒等于（ ）
A．C_n-1^r-1
B．（n+1）（r+1）c_n-1^r-1
C．nrC_n-1^r-1
D．C_n-1^r-1

13. 难度：中等

给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（ ）条件
A．充要
B．充分非必要
C．必要非充分
D．既非充分又非必要

14. 难度：中等

若数列{a_n}是首项为1，公比为a-的无穷等比数列，且{a_n}各项的和为a，则a的值是（ ）
A．1
B．2
C．
D．

15. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点，若点P（x，y）、P′（x′，y′）满足x≤x′且y≥y′，则称P优于P′，如果Ω中的点Q满足：不存在Ω中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（ ）

A．
B．
C．
D．

三、解答题

16. 难度：中等

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC₁的中点．求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

17. 难度：中等

如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）

18. 难度：中等

已知双曲线，P为C上的任意点．
（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点A的坐标为（3，0），求|PA|的最小值．

19. 难度：中等

已知函数．
（1）若f（x）=2，求x的值；
（2）若3^tf（2t）+mf（t）≥0对于恒成立，求实数m的取值范围．

20. 难度：中等

设P（a，b）（b≠0）是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点（1，b）的直线，记Q是直线l与抛物线x²=2py（p≠0）的异于原点的交点
（1）若a=1，b=2，p=2，求点Q的坐标
（2）若点P（a，b）（ab≠0）在椭圆+y²=1上，p=，
求证：点Q落在双曲线4x²-4y²=1上
（3）若动点P（a，b）满足ab≠0，p=，若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由．

21. 难度：中等

已知以a₁为首项的数列{a_n}满足：a_n+1=
（1）当a₁=1，c=1，d=3时，求数列{a_n}的通项公式
（2）当0＜a₁＜1，c=1，d=3时，试用a₁表示数列{a_n}的前100项的和S₁₀₀
（3）当0＜a₁＜（m是正整数），c=，d≥3m时，求证：数列a₂-，a_3m+2-，a_6m+2-，a_9m+2-成等比数列当且仅当d=3m．