2010年江苏省南通市通州区高三查漏补缺专项练习数学试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点．
（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．

2. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：．
（1）求证：∀n∈N^*，∃m_n∈N，使a_n=4m_n+3；
（2）求a₂₀₁₀的末位数字．

3. 难度：中等

若集合A={-1，0，1}，B={x|0＜x＜2}，则A∩B=    ．

4. 难度：中等

复数（i是虚数单位）的实部为    ．

5. 难度：中等

已知幂函数f（x）=k•x^α的图象过点（，），则k+α=    ．

6. 难度：中等

已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的渐近线方程为     ．

7. 难度：中等

设x，y满足，则z=x+y的最小值为    ．

8. 难度：中等

如图，四边形ABCD为矩形，，BC=1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是    ．

9. 难度：中等

阅读前面的伪代码，则运行后输出的结果是     ．

10. 难度：中等

函数f（x）=x²lnx的单调递减区间为     ．

11. 难度：中等

在△ABC中a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，若cosB+cosC=sinB+sinC，则△ABC为     三角形．

12. 难度：中等

不等式x²-（a²+a）x+a³＞0的解集为{x|x＜a²或x＞a}，则实数a的取值范围    ．

13. 难度：中等

在△ABC中，已知，的值为    ．

14. 难度：中等

过直线y=x上的一点P作圆（x-5）²+（y-1）²=2的两条切线l₁，l₂，A，B为切点，当直线l₁，l₂关于直线y=x对称时，∠APB=    ．

15. 难度：中等

若实数x、y满足4^x+4^y=2^x+1+2^y+1，则S=2^x+2^y的取值范围是    ．

16. 难度：中等

用α，β，γ三个字母组成一个长度为n+1（n∈N*）个字母的字符串，要求由α开始，相邻两个字母不同．例如n=1时，排出的字符串可能是αβ或αγ；n=2时排出的字符串可能是αβα，αβγ，αγα，αγβ（如图）．若记这种n+1个字符串中，排在最后一个的字母仍是α的所有字符串的种数为a_n，可知，a₁=0，a₂=2；则a₄=    ；数列{a_n}的前2n项之和a₁+a₂+a₃+…+a_2n=    ．

17. 难度：中等

如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．，求证：
（1）PA∥平面BDE；
（2）平面PAC⊥平面BDE．

18. 难度：中等

某工厂三个车间共有工人1000名，各车间男、女工人数如表：
已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的概率是0.15．
（1）求x的值；
（2）现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人，问应在第三车间抽取多少名？
（3）已知y≥185，z≥185，求第三车间中女工比男工少的概率．

19. 难度：中等

已知
（1）当时，求函数的最小正周期；
（2）当∥，α-x，α+x都是锐角时，求cos2α的值．

20. 难度：中等

已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A，C上顶点为B，过F，B，C三点作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）．
（1）若椭圆的离心率，求⊙P的方程；
（2）若⊙P的圆心在直线x+y=0上，求椭圆的方程．

21. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}满足：b_n=na_n，且数列{b_n}的前n项和为（n-1）S_n+2n（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求证：数列{S_n+2}是等比数列；
（3）抽去数列{a_n}中的第1项，第4项，第7项，…，第3n-2项，…余下的项顺序不变，组成一个新数列{c_n}，若{c_n}的前n项和为T_n，求证：．

22. 难度：中等

定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数；．
（1）当a=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；
（3）若m＞0，函数g（x）在[0，1]上的上界是T（m），求T（m）的取值范围．

23. 难度：中等

已知矩阵，其中a∈R，若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到点P′（0，-3），
（1）求实数a的值；
（2）求矩阵A的特征值及特征向量．