2009年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A、B满足A∩B=A，那么下列各式中一定成立的是（ ）
A．A⊊B
B．B⊊A
C．A∪B=B
D．A∪B=A

2. 难度：中等

在复平面内，复数z=对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第在象限
D．第四象限

3. 难度：中等

设向量，，则“x=2”是“”的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

已知一个平面α，那么对于空间内的任意一条直线a，在平面α内一定存在一条直线b，使得a与b（ ）
A．平行
B．相交
C．异面
D．垂直

5. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx，f'（x）为f（x）的导函数，那么（ ）
A．将f（x）的图象向左平移个单位可以得到f'（x）的图象
B．将f（x）的图象向右平移个单位可以得到f'（x）的图象
C．将f（x）的图象向左平移π个单位可以得到f'（x）的图象
D．将f（x）的图象向右平移π个单位可以得到f'（x）的图象

6. 难度：中等

如果数列{a_n}（a_n∈R）对任意m，n∈N^*满足a_m+n=a_m•a_n，且a₃=8，那么a₁₀等于（ ）
A．1024
B．512
C．510
D．256

7. 难度：中等

设斜率为1的直线l与椭圆C：+=1相交于不同的两点A、B，则使|AB|为整数的直线l共有（ ）
A．4条
B．5条
C．6条
D．7条

8. 难度：中等

根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O沿正东偏北α（）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但α的大小以及何时改变方向不定．如图．假定机器人行走速度为10米/分钟，设机器人行走2分钟时的可能落点区域为S，则S的面积（单位：平方米）等于（ ）

A．100π
B．100π-200
C．400-100π
D．200

二、解答题

9. 难度：中等

函数y=ln（x-1）的反函数是    ．

10. 难度：中等

设，则△ABC的内角A=    °．

11. 难度：中等

若的展开式中常数项为84，则a=    ，其展开式中二项式系数之和为    ．（用数字作答）

12. 难度：中等

设P为曲线为参数）上任意一点，A（3，5），则|PA|的最小值为     ．

13. 难度：中等

已知一个球的表面积为144π，球面上有P、Q、R三点，且每两点间的球面距离均为3π，那么此球的半径r=    ，球心到平面PQR的距离为    ．

14. 难度：中等

已知集合A={1，2，3，4}，函数f（x）的定义域、值域都是A，且对于任意i∈A，f（i）≠i．设a₁，a₂，a₃，a₄是1，2，3，4的任意一个排列，定义数表，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为    ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=sinxcosx+sin²x．
（1）求f（x）的值域和最小正周期；
（2）设α∈（0，π），且f（α）=1，求α的值．

16. 难度：中等

甲，乙两人射击，每次射击击中目标的概率分别是．现两人玩射击游戏，规则如下：若某人某次射击击中目标，则由他继续射击，否则由对方接替射击．甲、乙两人共射击3次，且第一次由甲开始射击．假设每人每次射击击中目标与否均互不影响．
（Ⅰ）求3次射击的人依次是甲、甲、乙的概率；
（Ⅱ）若射击击中目标一次得1分，否则得0分（含未射击）．用ξ表示乙的总得分，求ξ的分布列和数学期望．

17. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AB=BC=1，AA₁=2，D是AA₁的中点．
（Ⅰ）求异面直线A₁C₁与B₁D所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角C-B₁D-B的大小；
（Ⅲ）在B₁C上是否存在一点E，使得DE∥平面ABC？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

设a∈R，函数f（x）=
（Ⅰ）当a=2时，试确定函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任何x∈R，且x≠0，都有f（x）＞x-1，求a的取值范围．

19. 难度：中等

已知△AOB的顶点A在射线上，A，B两点关于x轴对称，O为坐标原点，且线段AB上有一点M满足|AM|•|MB|=3．当点A在l上移动时，记点M的轨迹为W．
（Ⅰ）求轨迹W的方程；
（Ⅱ）设P（-1，0），Q（2，0），求证：∠MQP=2∠MPQ．

20. 难度：中等

已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q=f（P）．设P₁（x₁，y₁），P₂=f（P₁），P₃=f（P₂），…，P_n=f（P_n-1），…．如果存在一个圆，使所有的点P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点P_n（x_n，y_n）的一个收敛圆．特别地，当P₁=f（P₁）时，则称点P₁为映射f下的不动点．若点P（x，y）在映射f下的象为点．
（Ⅰ）求映射f下不动点的坐标；
（Ⅱ）若P₁的坐标为（2，2），求证：点P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）存在一个半径为2的收敛圆．