高考数学一轮复习必备（第74课时）：第九章 直线、平面、简单几何体-直线与平面垂直（1）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若a，b，c表示直线，α表示平面，下列条件中，能使a⊥α的是（ ）
A．a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c=A
B．a⊥b，b∥α
C．a∩b=A，b⊂α，a⊥b
D．α∥b，b⊥a

2. 难度：中等

已知l与m是两条不同的直线，若直线l⊥平面a，①若直线m⊥l，则m∥a；②若m⊥a，则m∥l；③若m⊂a，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥a．上述判断正确的是（ ）
A．②③④
B．②③④
C．①③④
D．②④

3. 难度：中等

在下列关于直线l、m与平面α、β的命题中，真命题是（ ）
A．若l⊂β，且α⊥β，则l⊥α
B．若l⊥β，且α∥β，则l⊥α
C．若α∩β=m，且l⊥m，则l∥α
D．若l⊥β，且α⊥β，则l∥α

4. 难度：中等

已知直线a、b和平面M、N，且a⊥M，那么（ ）
A．b∥M⇒b⊥a
B．b⊥a⇒b∥M
C．N⊥M⇒a∥N
D．a⊄N⇒M∩N≠φ

5. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P在侧面BCC₁B₁及其边界上运动，并且保持AP⊥BD₁，则动点P的轨迹为（ ）
A．线段B₁C
B．线段BC₁
C．BB₁的中点与CC₁的中点连成的线段
D．BC的中点与B₁C₁的中点连成的线段

二、解答题

6. 难度：中等

三条不同的直线，α、β、γ为三个不同的平面：
①若α⊥β，β⊥γ，则α∥β；
②若a⊥b，b⊥c，则a∥c或a⊥c；
③若a⊂α，b、c⊂β，a⊥b，a⊥c，则α⊥β；
④若a⊥α，b⊂β，a∥b，则α⊥β，上面四个命题中真命题的个数是     ．

7. 难度：中等

如图，在直四棱柱A₁B₁C₁D₁-ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件    时，有A₁C⊥B₁D₁．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．）

8. 难度：中等

设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出以下命题：
①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；
②若PA，PB，PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；
③若∠ABC=90°，H是AC的中点，则PA=PB=PC；
④若PA=PB=PC，则H是△ABC的外心，其中正确命题的命题是    ．

9. 难度：中等

四面体ABCD中，AC=BD，E，F分别为AD，BC的中点，且，∠BDC=90°，求证：BD⊥平面ACD．

10. 难度：中等

如图，P△ABC所在平面外一点，PA=PB，CB⊥平面PAB，M是PC中点，N是AB上的点，AN=3NB，
（1）求证：MN⊥AB；
（2）当∠PAB=90°，BC=2，AB=4时，求MN的长．

11. 难度：中等

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，侧棱AA₁=1，侧面AA₁B₁B的两条对角线交于点D，B₁C₁的中点为M，求证：CD⊥平面BDM．

12. 难度：中等

如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别为AB、PC的中点；
（Ⅰ）求证：MN∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：MN⊥CD．

13. 难度：中等

ABCD是矩形，AB=a，BC=b（a＞b），沿对角线AC把△ADC折起，使AD⊥BC．
（1）求证：BD是异面直线AD与BC的公垂线；
（2）求BD的长．

14. 难度：中等

如图，已知SA，SB，SC是由一点S引出的不共面的三条射线，∠ASC=∠ASB=45°，∠BSC=60°，∠SAB=90°，求证：AB⊥SC．

15. 难度：中等

矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a＞0），PA⊥平面AC，且PA=1，BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，求a的取值范围．