2009-2010学年高三作业检测数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

在复平面上，复数是虚数单位）对应的点位于第    象限．

2. 难度：中等

已知向量和向量的夹角为30，，则向量和向量的数量积=    ．

3. 难度：中等

设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，已知a₂=3，a₆=11，则S₇=    ．

4. 难度：中等

设x，y满足，则z=x+y的最小值为    ．

5. 难度：中等

长方形ABCD中，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为    ．

6. 难度：中等

某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：

学生	1号	2号	3号	4号	5号
甲班	6	7	7	8	7
乙班	6	7	6	7	9

则以上两组数据的方差中较小的一个为s²=    ．

7. 难度：中等

如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为     ．

8. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足，若f（3）=log₂m，则m=    ．

9. 难度：中等

设斜率为2的直线l过抛物线y²=ax（a＞0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为    ．

10. 难度：中等

有下面算法：

则运行后输出的结果是     ．

11. 难度：中等

对于四面体ABCD，下列命题正确的是     ．（写出所有正确命题的编号）．
①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；
②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；
④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；
⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．

12. 难度：中等

用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设函数f（x）=min{2^x，x+2，10-x}，则函数f（x）的值域为    ．

13. 难度：中等

若关于x的不等式a²x²≥（3x-2）²的解集中的整数恰有2个，则正实数a的取值范围为    ．

14. 难度：中等

若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x³和都相切，则a等于    ．

15. 难度：中等

已知函数（0＜θ＜π）在x=π处取最小值．
（1）求θ的值；
（2）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，求角C．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥面ABCD，AD=CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点．
（1）证明：PA∥面BDE；
（2）证明：面PAC⊥面PDB．

17. 难度：中等

在平面直角坐标系xoy中，已知圆C₁：（x+3）²+y²=4和圆C₂：（x-4）²+（y-4）²=4．
（1）若直线l过点A（4，-1），且被圆C₁截得的弦长为，求直线l的方程；
（2）是否存在一个定点P，使过P点有无数条直线l与圆C₁和圆C₂都相交，且l被两圆截得的弦长相等，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f（x）．
（Ⅰ）试规定f（0）的值，并解释其实际意义；
（Ⅱ）试根据假定写出函数f（x）应该满足的条件和具有的性质；
（Ⅲ）设．现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较省？说明理由．

19. 难度：中等

已知a₁=9，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x²+2x的图象上，其中n=1，2，3，…，设b_n=lg（1+a_n）．
（1）证明数列{b_n}是等比数列；
（2）设C_n=nb_n+1，求数列{C_n}的前n项和；
（3）设，求数列{d_n}的前n项和D_n，并证明．

20. 难度：中等

定义y=log_1+xf（x，y），f（x，y）=（1+x）^y（x＞0，y＞0）
（1）比较f（1，3）与f（2，2）的大小；
（2）若e＜x＜y，证明：f（x-1，y）＞f（y-1，x）；
（3）设g（x）=f（1，log₂（x³+ax²+bx+1））的图象为曲线C，曲线C在x处的切线斜率为k，若x∈（1，1-a），且存在实数b，使得k=-4，求实数a的取值范围．

21. 难度：中等

如图，AC是圆O的直径，AC=10厘米，PA，PB是圆O的切线，A，B为切点，过A作AD⊥BP，交BP于D点，连接AB，BC．
（1）求证△ABC∽△ADB；
（2）若切线AP的长为12厘米，求弦AB的长．

22. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点．
（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．

23. 难度：中等

在北京奥运会期间，4位志愿者计划在长城、故宫、天坛和天安门等4个景点服务，已知每位志愿者在每个景点服务的概率都是，且他们之间不存在相互影响．
（1）求恰有3位志愿者在长城服务的概率；
（2）设在故宫服务的志愿者人数为X，求X的概率分布列及数学期望．