2009年北京市宣武区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数，则•i在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

极限存在是函数f（x）在点x=x处连续的（ ）
A．充分而不必要的条件
B．必要而不充分的条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要的条件

3. 难度：中等

已知非零向量、若||=||=1，且a⊥b，又知（k-4）⊥（2+3），则实数k的值为（ ）
A．6
B．3
C．-3
D．-6

4. 难度：中等

关于直线a、b，以及平面M、N，给出下列命题：
①若a∥M，b∥M，则a∥b；
②若a∥M，b⊥M，则a⊥b；
③若a∥b，b∥M，则a∥M；
④若a⊥M，a∥N，则M⊥N．
其中正确命题的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

5. 难度：中等

等比数列{a_n}中，其公比q＜0，且a₂=1-a₁，a₄=4-a₃，则a₅+a₆等于（ ）
A．8
B．-8
C．16
D．-16

6. 难度：中等

△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且cos 2B+3cos（A+C）+2=0，b=，则c：sin C等于（ ）
A．3：1
B．：1
C．：1
D．2：1

7. 难度：中等

已知f（x）是R上的偶函数，且f（1）=0，g（x）是R上的奇函数，且对于x∈R，都有g（x）=f（x-1），则f（2009）的值是（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．2

8. 难度：中等

如图，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，，AB=AC=A₁A=1，已知G与E分别是棱A₁B₁和CC₁的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是（ ）

A．[，1）
B．[，2）
C．[1，）
D．[，）

二、解答题

9. 难度：中等

已知函数，则=    ．

10. 难度：中等

（1-2x）⁶的展开式中，x²的系数为     ；其所有项的系数之和为     ．

11. 难度：中等

某企业要从某下属的6个工厂中抽调8名工程技术人员组成课题攻关小组，每厂至少调1人，则这8个名额的分配方案有     种．

12. 难度：中等

四面体ABCD中，共顶点A的三条棱两两相互垂直，且其长分别为1，，3，若四面体的四个顶点同在一个球面上，则这个球的表面积为    ．

13. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，其前n项和s_n满足，则a_n=    ．

14. 难度：中等

已知f₁（x）=sinx+cosx，记f₂（x）=f₁′（x），f₃（x）=f₂′（x），…，f_n（x）=f_n-1′（x）（n∈N^*，n≥2），则f₁（）+f₂（）+…+f₂₀₀₉（）=    ．

15. 难度：中等

已知：=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx）．设函数f（x）=-．（x∈R）求：
（1）f（x）的最小正周期；
（2）f（x）的单调递增区间；
（3）若-=，且，求θ

16. 难度：中等

设{a}是正数数列，其前n项和S_n满足S_n=（a_n-1）（a_n+3）．
（1）求a₁的值；求数列{a_n}的通项公式；
（2）对于数列{b_n}，令b_n=，T_n是数列{b_n}的前n项和，求T_n．

17. 难度：中等

已知参赛号码为1～4号的四名射箭运动员参加射箭比赛．
（1）通过抽签将他们安排到1～4号靶位，试求恰有一名运动员所抽靶位号与其参赛号码相同的概率；
（2）记1号，2号射箭运动员，射箭的环数为ξ（ξ所有取值为0，1，2，3…，10）．
根据教练员提供的资料，其概率分布如下表：

ξ		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
P1					0.06	0.04	0.06	0.3	0.2	0.3	0.04
P2					0.04	0.05	0.05	0.2	0.32	0.32	0.02

①若1，2号运动员各射箭一次，求两人中至少有一人命中8环的概率；
②判断1号，2号射箭运动员谁射箭的水平高？并说明理由．

18. 难度：中等

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁，D、E、F分别为B₁A、C₁C、BC的中点．
（I）求证：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求证：B₁F⊥平面AEF；
（Ⅲ）求二面角B₁-AE-F的余弦值．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（1+x²）+ax．（a≤0）
（1）若f（x）在x=0处取得极值，求a的值；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）证明：为自然对数的底数）

20. 难度：中等

已知数列{a_n}与数列{b_n}（n∈N*，n≥1）满足：①a₁＜0，b₁＞0；②当k≥2时，a_k与b_k满足如下条件：
当≥0时，a_k=a_k-1，，；当＜0时，，b_k=b_k-1．
求：（1）用a₁，b₁表示b_n-a_n；
（2）当b₁＞b₂＞…＞b_n（n≥2）时，用a₁，b₁表示b_k．（k=1，2，…n）
（3）当n（n≥2，n∈N*）是满足b₁＞b₂＞…＞b_n（n≥2）的最大整数时，用a₁，b₁表示n满足的条件．