2007年北京市朝阳区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z₁=2+mi（m∈R），z₂=4-3i，若z₁•z₂为实数，则m的值为（ ）
A．
B．-
C．-
D．

2. 难度：中等

不等式＞-1的解集是（ ）
A．{x|x＞5或x＜2}
B．{x|2＜x＜5}
C．{x|x＞5或x＜-2}
D．{x|-2＜x＜5}

3. 难度：中等

与函数y=2^x-1的图象关于y轴对称的函数图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知直线a和平α、β，α∩β=l，a⊈α，a⊈β，a在α、β内的射影分别是b、c，则b、c的位置关系是（ ）
①相交②平行③异面．
A．①②
B．①②③
C．②③
D．①③

5. 难度：中等

函数y=sin（2x-）的图象向左平移个单位，所得的图形对应的函数是（ ）
A．偶函数，但不是奇函数
B．奇函数，但不是偶函数
C．既是奇函数，又是偶函数
D．既不是奇函数，又不是偶函数

6. 难度：中等

某电视台连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式为（ ）
A．120
B．48
C．36
D．18

7. 难度：中等

对函数f（x）=ax²+bx+c （a≠0，b、c∈R）作x=h（t）的代换，使得代换前后函数的值域总不改变的代换是（ ）
A．h（t）=10^t
B．h（t）=t²
C．h（t）=sint
D．h（t）=log₂t

8. 难度：中等

已知圆F的方程是x²+y²-2y=0，抛物线的顶点在原点，焦点是圆心F，过F引倾斜角为α的直线l，l与抛物线和圆依次交于A、B、C、D四点（在直线l上，这四个点从左至右依次为A、B、C、D），若|AB|，|BC|，|CD|成等差数列，则α的值为（ ）
A．±arctan
B．
C．arctan
D．arctan或π-arctan

二、解答题

9. 难度：中等

已知向量=（4，3），=（x，-4），且⊥，则x=    ．

10. 难度：中等

若x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为    ．

11. 难度：中等

高三某班50名学生参加某次数学模拟考试，所得的成绩（成绩均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图，则该班得120分以上的同学共有    人．

12. 难度：中等

已知曲线C的参数方程是：（θ为参数），则曲线C的普通方程是    ；曲线C被直线x-y=0所截得的弦长是    ．

13. 难度：中等

设常数a＞0，展开式中x³的系数为-，则a=    ，=    ．

14. 难度：中等

在△ABC中，E、F分别为AB、AC上的点，若=m，=n，则=mn．拓展到空间：在三棱锥S-ABC中，D、E、F分别是侧棱SA、SB、SC上的点，若=m，=n，=p，则=    ．

15. 难度：中等

△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．
（Ⅰ）若，求cosA的值；
（Ⅱ）若A∈[，]，求的取值范围．

16. 难度：中等

一个袋子里装有大小相同，且标有数字1～5的若干个小球，其中标有数字1的小球有1个，标有数字2的小球有2个，…，标有数字5的小球有5个．
（Ⅰ）从中任意取出3个小球，求取出的小球都标有偶数数字的概率；
（Ⅱ）从中任意取出2个小球，求小球上所标数字之和为6的概率；
（Ⅲ）设任意取出的1个小球上所标数字为ξ，求Eξ．

17. 难度：中等

已知：四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=1．
（Ⅰ）求证：BC∥平面PAD；
（Ⅱ）若E、F分别为PB、AD的中点，求证：EF⊥平面PBC；
（Ⅲ）求二面角B-PA-C的余弦值．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-ax²+bx+c．
（Ⅰ）若函数y=f（x）的图象上存在点P，使P点处的切线与x轴平行，求实数a，b的关系式；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值，且其图象与x轴有且只有3个交点，求实数c的取值范围．

19. 难度：中等

已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为（-1，0）、（1，0），动点A、M、N满足（m＞1），，，．
（Ⅰ）求点M的轨迹W的方程；
（Ⅱ）点在轨迹W上，直线PF交轨迹W于点Q，且，若1≤λ≤2，求实数m的范围．

20. 难度：中等

在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q，每列上的数从上到下都成等差数列．a_ij表示位于第i行第j列的数，其中，a₄₂=1，．

（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）求a_ij的计算公式；
（Ⅲ）设数列{b_n}满足b_n=a_nn，{b_n}的前n项和为S_n，试比较S_n与T_n=（ n∈N^*）的大小，并说明理由．