2011年上海市高考数学试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

函数的反函数为f^-1（x）=    ．

2. 难度：中等

若全集U=R，集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0}，则C_UA=    ．

3. 难度：中等

设m是常数，若点F（0，5）是双曲线的一个焦点，则m=    ．

4. 难度：中等

不等式的解为    ．

5. 难度：中等

在极坐标系中，直线ρ（2cosθ+sinθ）=2与直线ρcosθ=1的夹角大小为    ．（结果用反三角函数值表示）

6. 难度：中等

在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB=75°，∠CBA=60°，则A、C两点之间的距离为    千米．

7. 难度：中等

若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为    ．

8. 难度：中等

函数的最大值为    ．

9. 难度：中等

马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布律如下表：

x	1	2	3
P（ξ=x）	？	！	？

请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ=    ．

10. 难度：中等

行列式（a，b，c，d∈{-1，1，2}）所有可能的值中，最大的是    ．

11. 难度：中等

在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3，BD=1，则=    ．

12. 难度：中等

随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为    （默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）

13. 难度：中等

设g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g（x）在区间[3，4]上的值域为[-2，5]，则f（x）在区间[-10，10]上的值域为    ．

14. 难度：中等

已知点O（0，0）、Q（0，1）和点R（3，1），记QR的中点为P₁，取QP₁和P₁R中的一条，记其端点为Q₁、R₁，使之满足（|OQ₁|-2）（|OR₁|-2）＜0，记Q₁R₁的中点为P₂，取Q₁P₂和P₂R₁中的一条，记其端点为Q₂、R₂，使之满足（|OQ₂|-2）（|OR₂|-2）＜0．依次下去，得到P₁，P₂，…，P_n，…，则=    ．

二、选择题

15. 难度：中等

若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A．a²+b²＞2ab
B．
C．
D．

16. 难度：中等

下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（ ）
A．
B．y=x³
C．y=2^|x|
D．y=cos

17. 难度：中等

设A₁，A₂，A₃，A₄，A₅是平面上给定的5个不同点，则使=成立的点M的个数为（ ）
A．0
B．1
C．5
D．10

18. 难度：中等

设{a_n}是各项为正数的无穷数列，A_i是边长为a_i，a_i+1的矩形的面积（i=1，2，…），则{A_n}为等比数列的充要条件是（ ）
A．{a_n}是等比数列
B．a₁，a₃，…，a_2n-1，…或a₂，a₄，…，a_2n，…是等比数列
C．a₁，a₃，…，a_2n-1，…和a₂，a₄，…，a_2n，…均是等比数列
D．a₁，a₃，…，a_2n-1，…和a₂，a₄，…，a_2n，…均是等比数列，且公比相同

三、解答题

19. 难度：中等

已知复数z₁满足（z₁-2）（1+i）=1-i（i为虚数单位），复数z₂的虚部为2，且z₁•z₂是实数，求z₂．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=a•2^x+b•3^x，其中常数a，b 满足a•b≠0
（1）若a•b＞0，判断函数f（x） 的单调性；
（2）若a•b＜0，求f（x+1）＞f（x） 时的x 的取值范围．

21. 难度：中等

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面边长为1的正四棱柱，O₁为A₁C₁与B₁D₁的交点．
（1）设AB₁与底面A₁B₁C₁D₁所成角的大小为α，二面角A-B₁D₁-A₁的大小为β．求证：；
（2）若点C到平面AB₁D₁的距离为，求正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高．

22. 难度：中等

已知数列{a_n}和{b_n}的通项公式分别为a_n=3n+6，b_n=2n+7（n∈N^*）．将集合{x|x=a_n，n∈N^*}∪{x|x=b_n，n∈N^*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c₁，c₂，c₃，…，c_n，…
（1）写出c₁，c₂，c₃，c₄；
（2）求证：在数列{c_n}中，但不在数列{b_n}中的项恰为a₂，a₄，…，a_2n，…；
（3）求数列{c_n}的通项公式．

23. 难度：中等

已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d（P，l）
（1）求点P（1，1）到线段l：x-y-3=0（3≤x≤5）的距离d（P，l）；
（2）设l是长为2的线段，求点的集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形面积；
（3）写出到两条线段l₁，l₂距离相等的点的集合Ω={P|d（P，l₁）=d（P，l₂）}，其中l₁=AB，l₂=CD，A，B，C，D是下列三组点中的一组．
对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答计分．
①A（1，3），B（1，0），C（-1，3），D（-1，0）．
②A（1，3），B（1，0），C（-1，3），D（-1，-2）．
③A（0，1），B（0，0），C（0，0），D（2，0）．