2011年广东省高考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设复数Z满足（1+i）Z=2，其中i为虚数单位，则Z=（ ）
A．1+i
B．1-i
C．2+2i
D．2-2i

2. 难度：中等

已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x²+y²=1}，B={（x，y）|x，y为实数，且y=x}，则A∩B的元素个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

3. 难度：中等

若向量，，满足∥且⊥，则•（+2）=（ ）
A．4
B．3
C．2
D．0

4. 难度：中等

设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）
A．f（x）+|g（x）|是偶函数
B．f（x）-|g（x）|是奇函数
C．|f（x）|+g（x）是偶函数
D．|f（x）|-g（x）是奇函数

5. 难度：中等

已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（，1），则z=•的最大值为（ ）
A．4
B．3
C．4
D．3

6. 难度：中等

甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为（ ）

A．6
B．9
C．12
D．18

8. 难度：中等

设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且∀a，b，c∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（ ）
A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的
B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的
C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的
D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的

二、解答题

9. 难度：中等

不等式|x+1|-|x-3|≥0的解集是    ．

10. 难度：中等

x（x-）⁷的展开式中，x⁴的系数是    （用数字作答）

11. 难度：中等

等差数列{a_n}前9项的和等于前4项的和．若a₁=1，a_k+a₄=0，则k=    ．

12. 难度：中等

函数f（x）=x³-3x²+1在x=    处取得极小值．

13. 难度：中等

某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为    cm．

14. 难度：中等

已知两曲线参数方程分别为（0≤θ＜π）和（t∈R），它们的交点坐标为    ．

15. 难度：中等

如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB=7，C是圆上一点使得BC=5，∠BAC=∠APB，则AB=    ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=2sin（x-），x∈R
（1）求f（）的值；
（2）设α，β∈[0，]，f（3α+）=，f（3β+2π）=，求cos（α+β）的值．

17. 难度：中等

为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x，y的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：

编号	1	2	3	4	5
x	169	178	166	175	180
y	75	80	77	70	81

（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品总数．
（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175，y≥75，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量．
（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中的优等品数ξ的分布列极其均值（即数学期望）．

18. 难度：中等

如图，在锥体P-ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点
（1）证明：AD⊥平面DEF
（2）求二面角P-AD-B的余弦值．

19. 难度：中等

设圆C与两圆（x+）²+y²=4，（x-）²+y²=4中的一个内切，另一个外切．
（1）求C的圆心轨迹L的方程；
（2）已知点M（，），F（，0），且P为L上动点，求||MP|-|FP||的最大值及此时点P的坐标．

20. 难度：中等

设b＞0，数列{a_n}满足a₁=b，a_n=（n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，a_n≤+1．

21. 难度：中等

在平面直角坐标系xoy上，给定抛物线L：y=x²．实数p，q满足p²-4q≥0，x₁，x₂是方程x²-px+q=0的两根，记φ（p，q）=max{|x₁|，|x₂|}．
（1）过点，A（p，p²）（p≠0），作L的切线交y轴于点B．证明：对线段AB上的任一点Q（p，q），有φ（p，q）=；
（2）设M（a，b）是定点，其中a，b满足a²-4b＞0，a≠0．过M（a，b）作L的两条切线l₁，l₂，切点分别为E（p₁，），E′（p₂，p₂²），l₁，l₂与y轴分别交于F，F′．线段EF上异于两端点的点集记为X．证明：M（a，b）∈X⇔|P₁|＜|P₂|⇔φ（a，b）=．
（3）设D={ （x，y）|y≤x-1，y≥（x+1）²-}．当点（p，q）取遍D时，求φ（p，q）的最小值 （记为φ_min）和最大值（记为φ_max）