高考数学一轮复习必备（第111-114课时）：函数问题的题型与方法（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列函数中，不存在反函数的是（ ）
A．y=-x²+1 （x＜-1）
B．y=（x≠0）
C．y=sinx
D．y=

2. 难度：中等

下面四个结论：
①偶函数的图象一定与y轴相交；
②奇函数的图象一定通过原点；
③偶函数的图象关于y轴对称；
④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R），
其中正确命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

3. 难度：中等

函数y=log_a（2-ax）在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．（0，2）
C．（1，2）
D．（2，+∞）

4. 难度：中等

已知函数f（x），x∈F，那么集合{（x，y）|y=f（x），x∈F}∩{（x，y）|x=1}中所含元素的个数是（ ）
A．0
B．1
C．0或1
D．1或2

5. 难度：中等

对函数f（x）=3x²+ax+b作代换x=g（t），则总不改变f（x）值域的代换是（ ）
A．
B．
C．g（t）=（t-1）²
D．g（t）=cost

6. 难度：中等

方程f（x，y）=0的曲线如图所示，那么方程f（2-x，y）=0的曲线是（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知命题p：函数y=log_0.5（x²+2x+a）的值域为R，命题q：函数y=-（5-2a）^x是减函数．若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤1
B．a＜2
C．1＜a＜2
D．a≤1或a≥2

8. 难度：中等

函数f（x）=2^x-1+x-5的零点所在的区间为（ ）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）

9. 难度：中等

如果函数f（x）=x²+bx+c对任意实数t都有f（2+t）=f（2-t），那么（ ）
A．f（2）＜f（1）＜f（4）
B．f（1）＜f（2）＜f（4）
C．f（2）＜f（4）＜f（1）
D．f（4）＜f（2）＜f（1）

10. 难度：中等

已知函数y=f（x）有反函数，则方程f（x）=a（a是常数）（ ）
A．有且仅有一个实根
B．至多一个实根
C．至少一个实根
D．不同于以上结论

11. 难度：中等

已知sinθ+cosθ=，θ∈（，π），则tanθ的值是（ ）
A．-
B．-
C．
D．

二、解答题

12. 难度：中等

已知f（x+199）=4x²+4x+3（x∈R），那么函数f（x）的最小值为    ．

13. 难度：中等

已知等差数列的前n项和为S_n，且S_p=S_q（p≠q，p、q∈N），则S_p+q=    ．

14. 难度：中等

关于x的方程sin²x+cosx+a=0有实根，则实数a的取值范围是     ．

15. 难度：中等

正六棱锥的体积为48，侧面与底面所成的角为45°，则此棱锥的侧面积为     ．

16. 难度：中等

建造一个容积为8m³，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为     ．

17. 难度：中等

已知函数f（x）满足：f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2，则+++=    ．

18. 难度：中等

设a，b为互不相等的正整数，方程ax²+8x+b=0的两个实根为x₁，x₂（x₁≠x₂），且|x₁|＜|x₂|＜1，则a+b的最小值为    ．

19. 难度：中等

设函数，
（1）证明：当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，ab＞1；
（2）点P （x，y） （0＜x＜1 ）在曲线y=f（x）上，求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式（用x表达）．

20. 难度：中等

设函数f（x）=x-In（x+m），其中常数m为整数．
（1）当m为何值时，f（x）≥0；
（2）定理：若函数g（x）在[a，b]上连续，且g（a）与g（b）异号，则至少存在一点x∈（a，b），使g（x）=0．
试用上述定理证明：当整数m＞1时，方程f（x）=0，在[e^-m-m，e^2m-m]内有两个实根．

21. 难度：中等

某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0、02元，但实际出厂单价不能低于51元．
（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；
（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本）

22. 难度：中等

已知f（x）=（x∈R）在区间[-1，1]上是增函数．
（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；
（Ⅱ）设关于x的方程f（x）=的两个非零实根为x₁、x₂．试问：是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

23. 难度：中等

已知函数f（x）（x∈R）满足下列条件：对任意的实数x₁，x₂都有λ（x₁-x₂）²≤（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]和|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，其中λ是大于0的常数，设实数a，a，b满足f（a）=0和b=a-λf（a）
（Ⅰ）证明λ≤1，并且不存在b≠a，使得f（b）=0；
（Ⅱ）证明（b-a）²≤（1-λ²）（a-a）²；

24. 难度：中等

已知函数f（x）定义域为（0，2），求下列函数的定义域：
（1）y=f（x²）+23；
（2）y=．

25. 难度：中等

已知xy＜0，并且4x²-9y²=36．由此能否确定一个函数关系y=f（x），如果能，求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由．

26. 难度：中等

甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比、比例系数为b；固定部分为a元．
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

27. 难度：中等

作出下列函数的图象（1）y=|x-2|（x+1）；（2）y=10^|lgx|．

28. 难度：中等

（1）一次函数f（x）=kx+h（k≠0），若m＜n有f（m）＞0，f（n）＞0，则对于任意x∈（m，n）都有f（x）＞0，试证明之；
（2）试用上面结论证明下面的命题：若a，b，c∈R且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，则ab+bc+ca＞-1．

29. 难度：中等

定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log₂3且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求证f（x）为奇函数；
（2）若f+f（3^x-9^x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

30. 难度：中等

已知函数f（x）=lg（ax²+2x+1）．
（1）若f（x）的定义域是R，求实数a的取值范围及f（x）的值域；
（2）若f（x）的值域是R，求实数a的取值范围及f（x）的定义域．

31. 难度：中等

若不等式2x-1＞m（x²-1）对满足|m|≤2的所有m都成立，求x的取值范围．

32. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₃=12，S₁₂＞0，S₁₃＜0．
（1）求公差d的取值范围．
（2）指出S₁，S₂，…，S₁₂中哪一个值最大，并说明理由．

33. 难度：中等

AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上任一点，设∠BAC=θ，PA=AB=2r，求异面直线PB和AC的距离．

34. 难度：中等

设f（x）=lg，如果当x∈（-∞，1]时f（x）有意义，求实数a的取值范围．

35. 难度：中等

已知偶函数f（x）=cosθsinx-sin（x-θ）+（tanθ-2）sinx-sinθ的最小值是0，求f（x）的最大值及此时x的集合．

36. 难度：中等

已知x∈R，奇函数f（x）=x³-ax²-bx+c在[1，+∞）上单调．
（1）求字母a，b，c应满足的条件；
（2）设x≥1，f（x）≥1，且满足f[f（x）]=x，求证：f（x）=x．