2011年高三数学单元检测：函数（4）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数f（x）=xlg（1+x²）是（ ）
A．奇函数
B．既是奇函数又是偶函数
C．偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数

2. 难度：中等

设函数y=f（x）在区间（0，+∞）内是减函数，则a=f（sin），b=f（sin），c=f（sin）的大小关系是（ ）
A．c＞b＞a
B．b＞c＞a
C．b＞a＞c
D．a＞b＞c

3. 难度：中等

设，若对于任意x₃∈[0，1]，总存在x∈[0，1]，使得g（x）=f（x₁）成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．[1，4]
D．

4. 难度：中等

定义一种运算：g⊙h=，已知函数f（x）=2^x⊙1，那么函数y=f（x-1）的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

函数y=xln（-x）与y=xlnx的图象关于（ ）
A．直线y=x对称
B．x轴对f（x）=g（x）^-1关称
C．y轴对称
D．原点对称

6. 难度：中等

将函数y=2^x+1的图象按向量a平移得到函数y=2^x+1的图象，则a等于（ ）
A．（-1，-1）
B．（1，-1）
C．（1，1）
D．（-1，1）

7. 难度：中等

设，则（ ）
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．b＜c＜a
D．b＜a＜c

8. 难度：中等

函数f（x）=lnx-的零点所在的大致区间是（ ）
A．（1，2）
B．（2，3）
C．（e，3）
D．（e，+∞）

9. 难度：中等

图中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成．设函数S=S（a）（a≥0）是图中阴影部分介于平行线y=0及y=a之间的那一部分的面积，则函数S（a）的图象大致为（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）对任意的x都有f（x+3）≤f（x）+3和f（x+2）≥f（x）+2且f（1）=1，则f（2005）的值为（ ）
A．2002
B．2003
C．2004
D．2005

11. 难度：中等

下列函数是偶函数且在区间（0，1）上是增函数的是（ ）
A．y=cos
B．y=|x+1|
C．y=
D．y=e^x+e^-x

12. 难度：中等

若函数f（x）=，则f（log₂3）=（ ）
A．3
B．4
C．16
D．24

13. 难度：中等

已知图1是函数y=f（x）的图象，则图2中的图象对应的函数可能是（ ）

A．y=f（|x|）
B．y=|f（x）|
C．y=f（-|x|）
D．y=-f（-|x|）

14. 难度：中等

函数f（x）=x²-3|x|+2的零点个数是（ ）
A．多于4个
B．4个
C．3个
D．2个

15. 难度：中等

如果函数f（x）在区间D上是“凸函数”，则对于区间D内任意的x₁，x₂，…，x_n，有≤f（）成立．已知函数y=sinx在区间[0，π]上是“凸函数”，则在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=lg，若f（a）=b，则f（-a）等于（ ）
A．b
B．-b
C．
D．-

17. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x），f（x-2）=f（x+2）且x∈（-1，0）时，f（x）=2^x+，则f（log₂20）=（ ）
A．1
B．
C．-1
D．-

18. 难度：中等

“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…，用S₁、S₂分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是（ ）
A．
B．
C．
D．

19. 难度：中等

y=2^|1-x|的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

20. 难度：中等

设函数f（x）定义在实数集上，f（2-x）=f（x），且当x≥1时，f（x）=lnx，则有（ ）
A．
B．
C．
D．

21. 难度：中等

下列函数既是奇函数，又在区间[-1，1]上单调递减的是（ ）
A．f（x）=sin
B．f（x）=-|x+1|
C．
D．

22. 难度：中等

设函数则不等式f（x）＞f（1）的解集是（ ）
A．（-3，1）∪（3，+∞）
B．（-3，1）∪（2，+∞）
C．（-1，1）∪（3，+∞）
D．（-∞，-3）∪（1，3）

23. 难度：中等

函数（0＜a＜1）的图象的大致形状是（ ）
A．
B．
C．
D．

24. 难度：中等

对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如：[-2.5]=-3，[2.5]=2，[2]=2，那么[log₂1]+[log₂2]+…+[log₂1024]=（ ）
A．8204
B．4102
C．2048
D．1024

25. 难度：中等

定义在R上的函数，若关于x的方程f²（x）+af（x）+b=3有3个不同实数解x₁、x₂、x₃，且x₁＜x₂＜x₃，则下列结论错误的是（ ）
A．x₁²+x₂²+x₃²=14
B．a+b=2
C．x₁+x₃＞2x₂
D．x₁+x₃=4

26. 难度：中等

函数f（x）=|log₃x|在区间[a，b]上的值域为[0，1]，则b-a的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2

27. 难度：中等

已知定义在R上的函数y=f（x）满足下列三个条件：
①对任意的x∈R都有f（x）=f（x+4）；
②对于任意的0≤x₁＜x₂≤2，都有f（x₁）＜f（x₂），
③y=f（x+2）的图象关于y轴对称，
则下列结论中，正确的是（ ）
A．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）
B．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）
C．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）
D．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）

二、解答题

28. 难度：中等

如果函数f（x）=5sin（ωx+）满足条件f（x+3）+f（x）=0，则正数ω=    ．

29. 难度：中等

已知两点A（1，0），B（b，0），若抛物线y²=4x上存在点C，使得△ABC为正三角形，则b=    ．

30. 难度：中等

若方程lgkx=2lg（x+1）仅有一个实根，那么k的取值范围是    ．

31. 难度：中等

函数f（x）=的定义域是     ．

32. 难度：中等

函数f（x）=（2x²-5x+3）的单调递增区间是     ．

33. 难度：中等

若函数f（x）=（k为常数）在定义域上为奇函数，则k的值为    ．

34. 难度：中等

函数的值域是[4，+∞），则集合A=    ．

35. 难度：中等

已知偶函数y=f（x）（x∈R）在区间[-1，0]上单调递增，且满足f（1-x）+f（1+x）=0，给出下列判断：（1）f（5）=0；（2）f（x）在[1，2]上减函数；（3）f（x）的图象关与直线x=1对称；（4）函数f（x）在x=0处取得最大值；（5）函数y=f（x）没有最小值，其中正确的序号是     ．

36. 难度：中等

为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：
已知加密为y=a^x-2（x为明文、y为密文），如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，
再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是    ．

37. 难度：中等

如果函数f（x）对任意的实数x，存在常数M，使得不等式|f（x）|≤M|x|恒成立，那么就称函数f（x）为有界泛函，下面四个函数：
①f（x）=1；②f（x）=x²；③f（x）=（sinx+cosx）x；④f（x）=．
其中属于有界泛函的是     ．

38. 难度：中等

已知f（x）=ax²+bx+3a+b是偶函数，且其定义域为[a-1，2a]，则a=    ，b=    ．

39. 难度：中等

抛掷一颗骰子的点数为a，得到函数，则“y=f（x）在[0，4]上至少有5个零点”的概率是     ．

40. 难度：中等

对于任意k∈[-1，1]，函数f（x）=x²+（k-4）x-2k+4的值恒大于零，则x的取值范围是    ．

41. 难度：中等

曲线y=2x⁴上一点到直线y=-x-1的距离的最小值为     ．

42. 难度：中等

给出下列命题：
①如果函数f（x）对任意的x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，则函数f（x）在R上是减函数；
②如果函数f（x）对任意的x∈R，都满足f（x）=-f（2+x），那么函数f（x）是周期函数；
③函数y=f（x）与函数y=f（x+1）-2的图象一定不能重合；
④对于任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x）．
其中正确的命题是     ．（把你认为正确命题的序号都填上）

43. 难度：中等

己知f（x）=lnx-ax²-bx．
（Ⅰ）若a=-1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）当a=1，b=-1，时，证明函数f（x）只有一个零点．